Además de las excelentes respuestas ya dadas, hay un par de subleties uno debe explícitamente punto.
Hay dos conceptos principales para la integración, siendo la primera, la integración indefinida, que es encontrar el antiderrivative de una función, y la segunda es la definitiva integración, encontrar la medida de la (firmado) el área encerrada por la gráfica de una función y el eje x. Hay varias formas de codificar estos conceptos en un riguroso lenguaje matemático.
Por ejemplo, nadie se puede si sabemos que $f$ es una función real de más de $[a, b]$, $a,b \in \mathbb{R}$, utilizamos la definición de Riemann
$$\int_{a}^b f(x) \, \operatorname{d}\!x \ ,$$
que se puede encontrar en cualquier elementales de cálculo del libro de texto. Provited que $f$ cumple con algunas condiciones específicas, podemos decir que $f$ es Riemann-integrable sobre $[a,b]$ y asignamos la anterior expresión simbólica de un único valor real. (También hay un teorema según el cual si $f$ es Riemann-integrale $[a,b]$, también es Riemann-integrable sobre cualquier cerrada subinterval de $[a,b]$).
Pero, ¿qué acerca de la integración indefinida? Recuerde que, dada una función real $h$ durante un intervalo de $I$, en función de $H:I \to \mathbb{R}$ se llama una antiderivada de $h$ sólo en caso de $H'=h$. Usted deberá tener en cuenta que cuando $H$ es una antiderivada de $h$, $H+c$ es, asimismo, una antiderivada de $h$, y se puede demostrar que cualquier antiderivada de $h$ es de la forma $H+c$ para alguna constante c.
Ahora, a prepararse para el duro de verdad...
Aunque reconoce que hay un número infinito de antiderivatives para $h$ (todas las funciones $H+c$), los matemáticos se vuelven locos, romper sus propias reglas, y con orgullo:
$$\int h(x) \, \operatorname{d}\!x = H(x),$$
sin ninguna pista de la vergüenza! A veces, podemos incluso ir tan lejos como para afirmar que 'la integral indefinida de $h(x)$ es H(x) para todos los $x \in I$'! No hay realmente tal cosa como la integral indefinida de una función, pues no existe tal cosa como la antiderivada de una función; hay una cantidad no numerable de ellos. Este es un claro abuso de notación/terminología, pero debido a razones históricas, es aceptado como el estándar para este día.
Para ilustrar los mencionados hechos, algunos libros prefieren escribir
$$\int h(x) \, \operatorname{d}\!x = H(x)+c,$$
y decir que $c$ es arbitraria constante, llamada constante de integración. Esta es una buena manera de recordarnos que si tenemos una ecuación integral como este:
$$\int h(x) \, \operatorname{d}\!x + x^2 = 6\ln x + 42,$$
podemos obtener la declaración equivalente
$$\exists c \in \mathbb{R} \quad H(x) + c + x^2 = 6\ln x +42.$$
$$\star \ \star \ \star$$
Ahora usted puede entender qué es exactamente lo que peculiar es constante, y por qué no se supone que tanto una función específica, como dices en tu pregunta. No hay constantes "existentes" en funciones integrables!
Voy a terminar este largo (demasiado largo?) post by darse cuenta de que la integral
$$\int_{a}^x f'(t) \, \operatorname{d}\!t$$
en cuestión no es sólo una integral definida (integrales definidas igual a un número real), sino una función
$$F(x) = \int_{a}^x f'(t) \, \operatorname{d}\!t, \ x \in D,$$
donde $f'$ debe ser de Riemann-integrable sobre $D$ (recordemos también que $a \in D$, e $D$ debe ser cerrado y bounted intervalo). Después de todo esto, se puede utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo y encontrar que
$$F(x) = f(x) - f(a), \ x \in D,$$
como ya se ha mencionado por otros.
Sé que he escrito mucho, pero creo que esto ayuda a que el OP de averiguar algo habitual prejuicios que subyacen a su pregunta. Comentarios/correcciones de bienvenida!
