Necesitaba resolver esto: $$x^2 + (2i-3)x + 2-4i = 0 $$
Probé la fórmula cuadrática pero no funcionó. Entonces, ¿cómo resuelvo esto sin "adivinar" las raíces? Si adivino $x=2$ funciona; entonces puedo dividir el polinomio y encontrar la otra raíz; pero no puedo "adivinar" una raíz.
$b^2-4ac=4i-3$ ahora tengo que trabajar con $ \sqrt {4-3i}$ que no sé cómo. Aparentemente $4i-3$ es igual a $(1+2i)^2$ pero no sé cómo llegar a esta respuesta, así que estoy atascado.
Lo que parece ser problemático es resolver $$ (x + iy)^2 = u + iv $$ para determinados números reales $u,v,$ y $v \neq 0.$
Las ecuaciones para los números reales que podemos usar son $$ \color {red}{x^2 - y^2 = u}, $$ $$ \color {red}{2xy = v}, $$ $$ \color {red}{x^2 + y^2 = \sqrt {u^2 + v^2}}. $$ El tercero es sobre la magnitud de los números complejos. Así que $$ 2 x^2 = \sqrt {u^2 + v^2} + u, $$ $$ 2 y^2 = \sqrt {u^2 + v^2} - u, $$ mientras que tenemos que tener cuidado con $ \pm $ señales porque necesitamos $2xy = v.$
Definir el número real $$ w = \sqrt {u^2 + v^2}, $$ para que $$ w > |u| \geq 0. $$ Tenga en cuenta que ambos $$ w + u > 0, $$ $$ w - u > 0. $$
Aquí he tomado la decisión de presentar la solución con $x > 0.$ Hay una segunda solución, negar ambos $x,y.$ Una solución es, cuando $v > 0,$ $$ \color {blue}{ x = \sqrt { \frac {w + u}{2} }, \; \; \; y = \sqrt { \frac {w - u}{2} }} $$
cuando $v < 0,$ $$ \color {blue}{ x = \sqrt { \frac {w + u}{2} }, \; \; \; y = - \sqrt { \frac {w - u}{2} }} $$
Podemos combinar las dos expresiones si incluimos la función del signo, https://en.wikipedia.org/wiki/Sign_function
$$ \color {magenta}{ x = \sqrt { \frac {w + u}{2} }, \; \; \; y = \left ( \operatorname {sgn} v \right ) \sqrt { \frac {w - u}{2} }} $$
Por tu problema, $$ u + iv = -3 + 4i, $$ así que $u = -3,$ $v = 4,$ y $v > 0.$ Luego $w = \sqrt {4^2 + 3^2} = 5.$
cuando $v > 0,$ $$ \color {blue}{ x = \sqrt { \frac {5 + (-3)}{2} }, \; \; \; y = \sqrt { \frac {5 - (-3)}{2} }}, $$ $$ x = \sqrt 1, \; \; \; y = \sqrt 4 $$
La fórmula cuadrática es perfectamente válida aquí por la misma razón por la que es válida cuando se trabaja sólo con números reales: $$ \frac {-b \pm\sqrt {b^2 - 4ac}} 2 = \frac {-(2i-3) \pm\sqrt {-3+4i}} 2. $$ La pregunta ahora es cómo encontrar $ \pm\sqrt {-3+4i}.$
En forma polar, tienes $-3+4i = \sqrt {3^3+4^2} \cdot ( \cos\alpha +i \sin\alpha ) = 5( \cos\alpha +i \sin\alpha )$ donde $ \cos\alpha = -3/5$ y $ \sin\alpha = 4/5,$ así que $ \tan\alpha = -4/3.$ Entonces tenemos $$ \sqrt {5( \cos\alpha +i \sin\alpha )} = \sqrt 5 \cdot\left ( \cos\frac\alpha 2 + i \sin\frac\alpha 2 \right ). $$
Ahora recuerda de la trigonometría que $ \tan\dfrac\alpha 2 = \dfrac { \sin\alpha }{1+ \cos\alpha } = \dfrac {4/5}{1+(-3/5)} = 2.$
Desde $ \tan = \dfrac { \text {opposite}}{ \text {adjacent}}$ queremos $ \tan\dfrac\alpha 2 = \dfrac 2 1.$ Desde $ \tan ={ \sin }/{ \cos },$ el hecho de que $ \tan =2$ significa que $ \sin = 2 \cos. $ Así que tenemos $$ \sqrt 5 \cdot \left ( \cos\frac\alpha 2 + i \sin\frac\alpha 2 \right ) = \sqrt 5 \left ( f + i (2f) \right ) $$ donde $f^2 + (2f)^2 = \cos ^2 + \sin ^2 = 1,$ así que $f= \dfrac 1 { \sqrt 5},$ y entonces tenemos $$ \sqrt 5 \left ( \cos\frac\alpha 2 + i \sin\frac \alpha 2 \right ) = \sqrt 5 \left ( \frac 1 { \sqrt 5} + i \frac 2 { \sqrt 5} \right ) = 1 + 2i. $$ Así, $ \pm\sqrt {-3+4i} = \pm (1+2i).$
La raíz cuadrada no es una función bien definida en los números complejos. Si quieres averiguar los posibles valores, la forma más fácil es probablemente ir con " La forma polar ", es decir, convertir su número en la forma
$$r( \cos ( \theta ) + i \sin ( \theta ))$$ y luego echando raíces,
donde $r$ es el módulo del número complejo y $ \theta $ es el ángulo con dirección positiva de $x$ -o podrías encontrarla usando $| \frac {y}{x}|$
Por ejemplo: $$ \sqrt3 +i$$ para esto $$r= \sqrt { \sqrt3 ^2+1^2}$$ y $$ \tan\theta = \frac {1}{ \sqrt3 }$$ y $$ \theta = \frac { \pi }{6}$$ y la forma polar es $$2( \cos ( \frac { \pi }{6})+i \sin ( \frac { \pi }{6}))$$ y luego encontrar la raíz cuadrada de que será $$ \pm\left [ \sqrt2 ( \cos ( \frac { \pi }{12}+ \sin ( \frac { \pi }{12})) \right ]$$ $$ \text {OR}$$ Puedes usar la fórmula $$r( \cos ( \theta )+ i \sin ( \theta ))^{1/2} = ±[ \sqrt {r}( \cos ( \theta /2) + i \sin ( \theta /2)].$$
La ecuación cuadrática funciona para coeficientes reales e imaginarios (pero tal vez sin tanta intuición geométrica cuando hay coeficientes imaginarios). Puedes "comprobar" esto tratando de usar la ecuación cuadrática y luego sustituirla en tus respuestas para ver si obtenemos $0$ . Tenemos $a=1$ , $b=2i-3$ , $c=2-4i$ : $$x= \dfrac {-b \pm\sqrt {b^2-4ac}}{2a}= \dfrac {-2i+3 \pm\sqrt {(2i-3)^2-4(2-4i)}}{2} $$ $$= \dfrac {-2i+3 \pm\sqrt {-4+9-12i-8+16i}}{2}= \dfrac {-2i+3 \pm\sqrt {4i-3}}{2}$$ No es bonito, pero un rápido compruebe en tu ecuación de $x^2+(2i-3)x+2-4i$ con $x= \dfrac {-2i+3+ \sqrt {4i-3}}{2}$ da: $$ \left ( \dfrac {-2i+3+ \sqrt {4i-3}}{2} \right )^2+(2i-3) \cdot\left ( \dfrac {-2i+3+ \sqrt {4i-3}}{2} \right )+2-4i$$ $$= \dfrac {(-2i+3)^2+4i-3+2(-2i+3) \sqrt {4i-3}}{4}+ \dfrac {-(-2i+3)^2+(2i-3) \sqrt {4i-3}}{2}+2-4i$$ $$= \frac {-(-4+9-12i)+4i-3-2(2i-3) \sqrt {10i-3}+2(2i-3) \sqrt {10i-3}}{4}+2-4i$$ $$= \dfrac {-8+16i}{4}+2-4i=0 \qquad\checkmark $$ y la otra raíz debería (con suerte) seguir la misma aritmética, pero seguir funcionando igual.
De la fórmula cuadrática, $x = \frac {3-2i \pm \sqrt {5 - 12i -4(2-4i)}}{2} = \frac {3-2i \pm \sqrt {4i - 3}}{2} $ .
Tengan en cuenta que $i$ es sólo una constante y no una variable, y puede ser tratada como tal.
Ahora, del teorema de DeMoivre, $ \sqrt {z} = \sqrt {r} \operatorname {cis} \left ( \dfrac { \theta + 2 \pi k} 2 \right )$ donde $z = 4i - 3$ y $r = \sqrt {4^2 + (-3)^2}$ , $k = 0,1$ .
A partir de ahí se puede simplificar aún más.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
