¿Por qué es esta 'Prueba' por inducción no es válido?

Question

Estoy tratando de entender por qué la inducción es válido. Por ejemplo, ¿por qué este 'prueba' no ser válida en virtud del principio de prueba por inducción ? :

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \lt \infty$ $ , por el uso de la inducción en la declaración de $$S(n) = \sum_{1}^{n} \frac{1}{k} \lt \infty$$ - "$S(1) < \infty$ es verdadera y "$S(n) < \infty$" implica "$S(n+1) < \infty$" desde $S(n+1) \lt S(n) + \frac{1}{n}$

Answer 1

Con la inducción, que sólo puede ser $S(n)$ es verdadera para todos los enteros positivos $n$. Sin embargo, aunque $S(n)$ es cierto para arbitrariamente grande,$n$, la declaración "$S(\infty)$" no seguir a partir de la inducción, porque $\infty$ no es un entero positivo.

Answer 2

La misma prueba demuestra que el conjunto de todos los enteros positivos es finito:

\begin{align} & \{1\} \text{ is finite.} \\ & \{1,2\} \text{ is finite.} \\ & \{1,2,3\} \text{ is finite.} \\ & \{1,2,3,4\} \text{ is finite.} \\ & \qquad \vdots \\ & \text{and so on.} \\ \text{Therefore } & \{1,2,3,4,\ldots\} \text{ is finite.} \end{align}

Answer 3

Por inducción que han demostrado que para todos los $n\in\mathbb Z^+$, $\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac 1 k$ es finito, lo cual es cierto. Esta no es la misma como la demostración de que $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac 1 k$ es finito...

Answer 4

Me gustaría añadir a los comentarios de otros que cuando se toma el límite de $<$ cambios en $\le$. Así que tomando el límite obtendría $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}\le\infty$, que no es particularmente útil.

Answer 5

Otras respuestas hacen que el punto válido, hecho en el que sólo se puede deducir $( \forall n \in \mathbb N :P(n) )$ por inducción, pero no $ P(\infty) $ (aunque véase la nota¹). Hay, sin embargo, otro problema en tu caso:

Su "$ P $" no tiene el mismo significado en "$ P(n)$ " ( $ n\in \mathbb N $ ) como lo hace en "$ P(\infty) $".

Esto es confuso, ya que la notación es la misma, pero una infinita suma se define como un límite, mientras que un número finito de suma se define inductivamente. Debido a esto, la inducción no nos dice nada acerca de la $ P(\infty) $.

¹_{a veces Se puede deducir $P(\omega)$ cuando se utiliza la inducción transfinita, sino que es una técnica diferente y una historia diferente.}