¿Qué documentos debemos leer para empezar? ¿Qué conocimientos básicos que necesitamos para entender la cuestión? ¿Qué es esta área realmente? Y ¿qué se investiga? Gracias!
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Iwasawa teoría tiene sus orígenes en los siguientes contrario a la intuición de la penetración de Iwasawa: en lugar de intentar describir la estructura de un determinado módulo de Galois, a menudo es más fácil describir cada Galois módulo en una torre infinita de los campos a la vez.
En el ejemplo específico que Iwasawa estudiado fue de $p$-subgrupo de Sylow de la clase de grupo de $K_n = \mathbb{Q}(\zeta_{p^n})$. Es, naturalmente, un $\mathbb{Z}_p$-módulo así como $G_n$ = Gal$(K_n/K_1)$-módulo, pero el anillo de grupo de $\mathbb{Z}_p[G_n]$ no es muy agradable; no es un dominio, por ejemplo. Si nosotros en lugar de mirar a la inversa de los límites de la $p$ partes de los grupos de la clase de todos los campos de $K_n$ a la vez, como los módulos de más de $\mathbb{Z}_p[G_n]$, obtenemos un módulo sobre el límite inversa $\varprojlim\mathbb{Z}_p[G_n]$. Este anillo es mucho más fácil de entender; es un completo 2-dimensional anillo local regular que es (no canónicamente) isomorfo a una potencia de la serie ring, y hay una fuerte estructura teorema de los módulos a través de este anillo. El uso de esta estructura teorema, Iwasawa probado muchos teoremas acerca de los números de clase de cyclotomic campos. Para un ejemplo simple: $p$ divide el número de clase de uno de los campos de $K_n$ si y sólo si se divide el número de clase de todos los campos de $K_n$.
Hay aun una mayor rentabilidad de la teoría: una relación profunda con valores especiales de $L$-funciones. En la función de campo de caso, Weil ha interpretado la Hasse-Weil $L$-función de como calcular el polinomio característico de Frobenius que actúan sobre el Jacobiano de una curva. Iwasawa la idea era que el análogo para el número de los campos debe ser "la característica ideal" de el anillo $\varprojlim\mathbb{Z}_p[G_n]$ actuando en el ideal de los grupos de la clase. Resulta que esta característica ideal tiene un generador que es esencialmente el mismo como un $p$-adic $L$-función estrechamente relacionado con el ordinario de Dirichlet $L$-funciones. Este fue Iwasawa "principal conjetura" y ahora es un teorema. Esto implica la Herbrand-Ribet y teorema de esencialmente todos los clásicos de resultado relacionadas con cyclotomic campos y valores zeta.
Muchas han sido las generalizaciones ya, pero es seguro llamar a un área de "teoría de Iwasawa" si los estudios de algunos Galois representación que van a través de una torre infinita de campos y se conecta a $p$-adic $L$-funciones. Los más fructíferos Galois módulos desde el punto de vista de la $L$-funciones parecen ser Bloch y Kato generalizado Selmer grupos; el ideal de la clase de grupo puede ser interpretado como una Selmer grupo, y por tanto la clásica Selmer grupo de abelian variedad. Hay un montón de investigación actual en esta área.
Para empezar a leer, te recomiendo Washington, el libro de cyclotomic campos. El capítulo 13 es divertido y es un buen uso de algunas de las principales técnicas de la teoría de Iwasawa. Usted no necesita nada, pero los antecedentes básicos en los capítulos 1-4 a leer las secciones 1 a 4 del Capítulo 13, que contienen los tipos de teorema de la que me estaba refiriendo en los dos primeros párrafos de esta respuesta. Los cálculos explícitos en los diez primeros capítulos de dar también el enlace a $p$-ádico L-funciones. Si saben algo de la teoría algebraica de números, que debe estar bien para leer este libro. Yo también recomendamos que Greenberg PCMI notas sobre la teoría de Iwasawa de curvas elípticas, que se puede encontrar aquí:
http://www.math.washington.edu/~greenber/Parque.ps
Si está familiarizado con el campo de clase de teoría, y he leído las primeras secciones del Capítulo 13 en Washington, a continuación, Coates y Sujatha del reciente libro, Cyclotomic Campos y Valores Zeta, es un placer de leer.
Henrik Paul
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Parte 2 de Kato las conferencias nunca fue publicada, como estoy seguro que todo el mundo es consciente, sin embargo, Kato del papel con Fukaya- "Una formulación de conjeturas sobre el p-ádico zeta funciones en la no-conmutativa de la teoría de Iwasawa" es un reemplazo (y, por supuesto, de una extensión) de la parte 2.
Erick Sasse
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Si yo fuera usted, me gustaría leer primero las siguientes acciones: En $Z_l$-Extensiones Algebraico de los Campos de Número, Los Anales de las Matemáticas, la Segunda de la Serie, Vol. 98, Nº 2 (Sep., 1973), pp 246-326, Por Iwasawa.
Este EL papel de cada Iwasawa ventilador debe leer.
A continuación, me gustaría echar un vistazo a En $p$-adic $L$-funciones y cyclotomic campos de Nagoya Matemáticas. J. Volumen 56 (1975), 61-77, por Ralph Greenberg. Compruebe también la continuidad de Greenberg de papel.
Los artículos arriba mencionados son de alguna manera las bases de la clásica teoría de Iwasawa.
Después de las anteriores, yo recomiendo: Puntos racionales de abelian variedades con valores en las torres de los campos de número. Inventar. De matemáticas. 18 (1972), 183-266, por Mazur.
Echa un vistazo Otmar Venjakob tesis, y sus papeles, para tener una idea de la no conmutativa la teoría de Iwasawa.
Acerca de los libros que me volvería a tener en mi biblioteca Cyclotomic Campos y Valores Zeta. También Ralph Greenberg ha estado trabajando en un libro sobre la teoría de Iwasawa, y creo que usted puede encontrar algunos de los capítulos de la misma en su página web.
Rog
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Kato de conferencias sobre la generalización de la conjetura de Iwasawa y cómo encaja en el panorama general de valores zeta, p-ádico períodos etc., están destinados a ser "joyfull conferencias bueno para los principiantes" (por desgracia, el artículo contiene sólo la parte I, ¿alguien sabe acerca de la parte II?). Otro panorama se da en Kato ICM de conferencia. Pottharst escribió una breve nota "¿Qué es la teoría de Iwasawa acerca de (en mi opinión)?". .
