Es posible tener tres números reales que tienen tanto su suma y el producto igual a $1$?

Question

Tengo que solucionar $ x+y+z=1$ $xyz=1$ para un conjunto de $(x, y, z)$. Hay tales números reales?

Edit : Lo que si $x+y+z=xyz=r$, $r$ siendo un número real arbitrario. Va a ser posible encontrar la verdadera $x$, $y$, $z$?

Answer 1

Hay infinitas soluciones. $z=1-x-y$ es un plano de ecuación y $z=\dfrac{1}{xy}$ es una complicada curva, pero su intersección presenta una infinidad de puntos reales.

En primer lugar me gustaría tratar algunos trivial valores como $x=0$ o $x=1$ o $x=-1$ y comprobar cuál de ellos funciona y lo que no.

Por ejemplo, si $x=0$, $xyz=0$ no funciona.

Si $x=1$, $x+y+z=1\rightarrow y+z=0\rightarrow z=-y$ significa que $xyz=1\rightarrow y^{2}=-1$ es un número complejo también no funciona.

A continuación, $x=-1$ es un buen intento, porque $y+z=2$ $yz=-1$ parece prometedor. \begin{equation*} yz=-1 \end{ecuación*} \begin{equation*} z=-\frac{1}{y} \end{ecuación*} a continuación, \begin{equation*} y+z=2 \end{ecuación*} \begin{equation*} y-\frac{1}{y}=2 \end{ecuación*} \begin{equation*} y^{2}-1=2y \end{ecuación*} \begin{equation*} y^{2}-2y-1=0 \end{ecuación*} \begin{equation*} \Delta=4+4=8 \end{ecuación*} \begin{equation*} y=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2} \end{ecuación*} \begin{equation*} \therefore z=1\mp\sqrt{2} \end{ecuación*}

Así, tanto el $\left(-1,1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}\right)$ $\left(-1,1+\sqrt{2},1-\sqrt{2}\right)$ son respuestas válidas.

Yo no podía comentar sobre la falta de espacio. Aquí están algunas notas acerca de sus señales:

Como notado antes, ninguna de las variables puede ser cero, porque $xyz\neq0$.

También las tres variables que no pueden ser todos positivos, porque si $x>0$, $y>0$, $z>0$, entonces habría que ponerlos en el intervalo de $0<x,y,z<1$, si uno de ellos sería mayor que $1$, por ejemplo, $x>1$, entonces la suma de $x+y+z$ sería mayor que $1$, desde $x>1$, $y>0$, $ z>0$. El problema de ese intervalo es $0<y<1$ significaría que $\dfrac{1}{y}>1$ y por la misma razón, $0<z<1$ significaría $\dfrac{1}{z}>1$. Pero $xyz=1$ hacer $x=\dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{1}{z}>1$ y que sería imposible, así que las tres variables que no pueden ser todos positivos y que no puede ser localizada en dicho intervalo.

Por otro lado, usted no puede tener un negativo de la variable o negativa tres variables, ya que su producto sería negativo, por lo que debe tener exactamente dos negativos y uno positivo de las variables.

Answer 2

$$x+y+z=1 \quad \text{and} \quad xyz=1$$

\begin{align} xy(1-x-y) &= 1 \\ xy - x^2y - xy^2 = 1 \\ xy^2 + x^2y - xy + 1 &= 0 \\ xy^2 + (x^2 - x)y + 1 &= 0 \\ y^2 + (x-1)y + \dfrac 1x &= 0 \qquad\text{{%#%#% since %#%#%.}}\\ y &= \dfrac 12(1-x) \pm \dfrac 12\sqrt{(x-1)^2-\dfrac 4x} \end{align}

Así que tenemos que encontrar no negativos de los números reales, $x\ne 0$, por lo que podemos resolver $xyz=1$$

Claramente, existe un $n$ para todos los valores negativos de x.

Cuando x es positivo, Wolfram alpha nos dice que el único valor real solución a$$(x-1)^2-\dfrac 4x = n^2$$n$, donde $(x-1)^2-\dfrac 4x = 0$

Un valor de $x=\xi$ existe para todas las $\xi =\dfrac 13 \left(2 + \sqrt[3]{53 + 6 \sqrt{78}} + \sqrt[3]{53 - 6 \sqrt{78}}\right) \approx 2.314596212276752$.

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Trabajando, el conjunto solución es

$$\{x,y,z\} = \left\{x,\; \dfrac 12(1-x) + \dfrac 12\sqrt{(x-1)^2-\dfrac 4x},\; \dfrac 12(1-x) - \dfrac 12\sqrt{(x-1)^2-\dfrac 4x} \;\right\}$$

para todos los $n$ donde $x \ge \xi$

Answer 3

Esos números son la intersección de la superficie de la $x y z=1$ y el avión $x+y+z=1$. Una rápida trama de estas superficies se muestra que estas superficies sí se cruzan y que la solución consiste de una curva (tan infinitamente muchas soluciones) que se ve algo como una hipérbola.

Answer 4

Supongamos $x=-1/2$, luego tenemos a$y + z = 3/2$$yz=-2$. Tenemos que $y,z$ son soluciones de la ecuación cuadrática $$a^2 - 3/2 a - 2.$$

Desde el discriminante de este polinomio es positivo hay $2$ soluciones reales (por $y$$z$). Por lo tanto, no existe la necesaria $x,y,z$.

Edit: Nota de que, dado cualquier $x <0$ hay $y,z$ de manera tal que el $x,y,z$ satisface las ecuaciones. La misma prueba que he utilizado anteriormente funciona:

Dado $x <0$ si $y+z=1-x > 0$$yz=\frac{1}{x} < 0$, $y,z$ son soluciones de la ecuación cuadrática

$$a^2 -(1-x)a + \frac{1}{x}.$$

Este cuadrática tiene discriminante $(1-x)^2 -\frac{4}{x} >0.$ por lo tanto, hay soluciones $x,y,z$ como se requiere.

Segunda Edición: En el caso de que tuviéramos $x + y + z = R$ $xyz=S$ $R,S \in \mathbb{R}$, $S\ \neq0$ ( yo.e una generalización de su edición), tenemos soluciones. Utilizando el mismo método que antes, considere la posibilidad de $y+z=R-x$$yz=S/x$. A continuación, $y,z$ son las raíces del polinomio

$$a^2 -(R-x)a + \frac{S}{x}.$$

Mientras reparamos $x$, de modo que $\frac{S}{x} <0$, entonces el discriminante de esta ecuación cuadrática es positivo y nos puede garantizar un conjunto de soluciones de $x,y,z$.

En el caso de $S=0$, $x,y,z$ debe $0$ - soluciones son fáciles de ver desde allí.

Answer 5

Considerar cúbicos

$$ (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 - x^2( a+b+c) +x(a b+ b c+ca) -abc $$

Deje $ d = (a b + b c+ca) $

$$ x^3 - x^2 + d\,x - 1 =0 $$

Las raíces de satisfacer a su condición. Pero constante $d$ deben ser elegidos de forma que todas las raíces son reales considerando su discriminante en

Cúbicos Ecuación De La Wiki

resulta simplemente como condición: $ d < -1.2275 $

EDIT1:

(Error anterior en discriminante $/ d $ )

$$ 4 d^3 - d^2 +18 d -31 <0 ; \quad d < -1.2275 $$