Secuencia espectral para Ext

Question

Si tengo un morfismo de esquemas $f:X\rightarrow Y$ y gavillas $\mathcal F,G$ en $X$ entonces existe una secuencia espectral que relaciona los grupos Ext

$\mathrm{Ext}(f_* \mathcal F, f_*\mathcal G)$ en $Y$ y $\mathrm{Ext}(\mathcal F, \mathcal G)$ en $X$ ?

Debo añadir, que si esto no es posible en general, que mi morfismo $f$ es en realidad un morfismo afín y que quiero comparar los dos $\mathrm{Ext}$ -grupos de ninguna manera. Lo primero que pensé fue en una secuencia espectral, pero quizás haya otras formas que conozcas.

Answer 1

Bueno, una cosa inútil es decir que en general se tiene la secuencia espectral de Grothendieck (cf. respuesta de Matt Emerton Secuencia espectral contravariante de Grothendieck ), (estoy pensando en A,B allí como su $Rf_*F, Rf_*G$ ).

Pero como tu morfismo es afín entonces esto no ayuda ni un poco.

Supongo que es imposible a priori dar alguna comparación: esencialmente porque $f_*$ y $\underline{Hom}$ no son compatibles (que, a través de $E^\vee \otimes F = \underline{Hom}(E,F)$ es otra forma de decir que $f_*$ y $\otimes$ no son compatibles).

Pero me gustaría mucho que se demostrara lo contrario, ya que yo también estoy igualmente atascado.

Answer 2

Esto probablemente no es una "respuesta", ya que los supuestos van a ser diferentes, pero aún así me gustaría escribir lo que he elaborado.

Lema Supongamos que $f: X\to Y$ es plana, entonces el empuje hacia adelante de un conjunto inyectivo $I$ es inyectiva.

De hecho, tenemos que demostrar que $Hom_Y(-, f_*I)$ es exacta. Como $f$ es plana, el functor de retroceso $f^*$ es exacta, por lo que la exactitud de $Hom_Y(-, f_*I)$ se deduce de la contigüidad de $f^*$ y $f_*$ .

Corollay Supongamos que $f: X\to Y$ es plana, entonces existe una secuencia espectral $$ Ext^p_Y(f_*\mathcal{F}, R^qf_*\mathcal{G}) \Rightarrow Ext_X^{p+q}(f^*f_*\mathcal{F}, \mathcal{G}).$$

Aquí consideramos los dos funtores $f_*$ y $Hom_Y(f_*\mathcal{F}, -)$ . Su composición es el functor $$\mathcal{G}\mapsto Hom_Y(f_*\mathcal{F}, f_*\mathcal{G})= Hom_X(f^*f_*\mathcal{F}, \mathcal{G}).$$ Así que el Corolario es una consecuencia directa de la secuencia espectral de Grothendieck.

El morfismo de arista da lugar a un mapa $Ext^p_Y(f_*\mathcal{F}, f_*\mathcal{G})\to Ext^p_X(f^*f_*\mathcal{F}, \mathcal{G})$ . Por otro lado, tenemos el mapa de adjunción $f^*f_*\mathcal{F}\to \mathcal{F}$ . Así que hay mapas $$Ext^p_Y(f_*\mathcal{F}, f_*\mathcal{G})\to Ext^p_X(f^*f_*\mathcal{F}, \mathcal{G}) \leftarrow Ext^p_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}).$$ Me pregunto si se pueden relacionar los dos términos "externos" de la fórmula anterior en general.

Sin embargo, si $f$ se supone además que es afín, entonces $f_*$ es exacta, por lo que la secuencia espectral degenera, y obtenemos $Ext^p_Y(f_*\mathcal{F}, f_*\mathcal{G})= Ext^p_X(f^*f_*\mathcal{F}, \mathcal{G})$ y, por tanto, un mapa $Ext^p_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to Ext^p_Y(f_*\mathcal{F}, f_*\mathcal{G})$ . De nuevo, ya que $f_*$ es exacta, la existencia de este mapa es obvia a partir de la descripción de Yoneda de los elementos de $Ext^n$ como extensiones de la longitud $n$ (Parece que la planicidad no es necesaria aquí ).

De todos modos, digamos que $X$ es un álgebra afín sobre un campo $k$ y que $Y=Spec(k)$ . Entonces $Ext_Y^n(f_*\mathcal{F}, f_*\mathcal{G})=0$ para todos $n>1$ ya que todos los $k$ -los espacios vectoriales son inyectivos $k$ -módulos. Ciertamente hay "pérdida de información" al ir a la $Ext$ del empuje hacia adelante.