Si tenemos en cuenta $Z[i]$ modulo $1+i$, ¿por qué sólo hay dos clases de congruencia?
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Hurkyl
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Vamos a reducir el problema a entero de álgebra lineal.
$\mathbb{Z}[i]$ es de dos dimensiones, con base $\{1, i\}$.
El ideal de $(1+i)$ se compone de todos los múltiplos de $1+i$.
Los múltiplos de $1+i$ son atravesados por $\{1 \cdot (1+i), i \cdot (1+i) \} = \{ 1+i, -1+i \}$. Escrito coordenadas relativas escogido para nuestra base anterior, esto es el rowspace de la matriz
$$ \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) $$
Podemos fila de esta matriz para reducir
$$ \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $$
Ahora, si consideramos que cualquier vector $(x,y)$, es claro que podemos normalizar este a $(0,0)$ o $(0,1)$ con la adición de elementos del ideal de la $(1+i)$; es decir, mediante la adición de combinaciones lineales de las filas de la versión simplificada de la matriz.
Por lo tanto, dos clases de equivalencia.
Oli
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ChristopherE
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Desde, $1+i\equiv 0\pmod{1+i}$, $i\equiv -1\pmod{1+i}$. Esto implica $$ -1=i^2\equiv (-1)^2=1\pmod{1+i} $$ o $2\equiv 0\pmod{1+i}$.
Entonces para cualquier $a+bi\in\mathbb{Z}[i]$, $$ a+bi\equiv a-b\equiv 0,1\pmod{1+i}. $$ De esta manera se sigue desde $a-b$ es simplemente un entero, y si es par, es congruente a $0$ desde $2\equiv 0\pmod{1+i}$, y si es impar, es congruente a $1$ por la misma razón.
