¿Cómo puedo saber si una potencia es mayor que la otra cuando las bases son diferentes?
Por ejemplo, considerando $2^{10}$ y $10^{3}$ el primero es el mayor, pero ¿cómo demostrarlo? ¿Logaritmos? Voy a trabajar con números grandes, y aunque se agradece una solución más general, voy a comparar exactamente potencias de $2$ y $10$ .
$\mathrm{log}_2$ es el camino a seguir.
$\mathrm{log}_2(2^{2000})=2000$
$\mathrm{log}_2(10^{800})=800\,\log_2(10)$
Entonces, ¿cuál es más grande? $20$ o $8\mathrm{log}_2(10)$ ?
Veamos $20$ es menor que $8 \times 3=24$ y $\mathrm{log}_2(10) > \mathrm{log}_2(8)=\mathrm{log}_2(2^3)=3$ . Así que parece: $$2^{2000} < 10^{800}$$ (no se necesita calculadora).
Para comparar: $3=\mathrm{log}_2(2^3)=\mathrm{log}_2(8)<\mathrm{log}_2(10)<\mathrm{log}_2(16)=\mathrm{log}_2(2^4)=4$
En realidad, puedes resolver el problema anterior con un método mucho más sencillo. No es necesario el logaritmo. Simplemente, da 2^2000 y 10^800 el mismo exponente. Sabemos que (a^n)^m \= a^(n*m) . Eso está claro. Ahora, podemos replantear las diferentes bases pero con el mismo exponente para que queden así: (2^5)^400 y (10^2)^400 y son absolutamente iguales a los anteriores. 2^5 = 32 y 10^2 = 100 se calculan fácilmente, incluso sin calculadora, por lo que ahora podemos decir que 32^400 < 100^400 . Bonito y fácil, sin problemas y sin logaritmos :) Espero que te haya servido de ayuda
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Bueno, para demostrar que $2^{10}$ es mayor que $10^3$ ¡sólo tienes que computarlos! $2^{10}=1024\gt 1000=10^3$ . En realidad, no hay nada más que "demostrar". Y, sí, puedes usar logaritmos. Desde $2^a\lt 10^b$ sólo si $a\lt b\log_{2}(10)$ si y sólo si (suponiendo que ambos $a$ y $b$ son positivos) $\frac{a}{b}\lt\log_2{10}$ sólo tiene que comparar $\frac{a}{b}$ con $\log_2{10}$ .
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@ArturoMagidin Lo sé :-) Pero a cual más grande: $2^{2000}$ o $10^{800}$ ? Me gustaría conocer casos como éste. Editar: Debería publicar esta edición en su comentario como respuesta.
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@sidyll: $2^m=10^{m\log_{10}(2)}$ . Así $2^m>10^n$ precisamente si $m\log_{10}(2) >n$ . Ahora usa $\log_{10}(2) \approx 0.30129996$ .
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@Ross Millikan: Gracias, lo borraré, cambio.
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@sidyll: $2^m=10^{m\log_{10}(2)}$ . Así $2^m \gt 10^n$ precisamente si $m\log_{10}(2) \gt n$ . Ahora utilice $\log_{10}(2) \approx 0.301029996$ .
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@sidyll: Además de los registros, ten en cuenta que $2^{10}\approx 10^3$ (en realidad, un poco más grande), así que $2^{2000} = (2^{10})^{200} \approx (10^3)^{200} = 10^{600}$ . La diferencia de exponentes es lo suficientemente grande como para saber que $10^{800}$ es mayor. (Por supuesto, si tiene $2^a$ vs. $10^b$ y $a/3$ es sólo un poco más pequeño que $b$ Sin embargo, este tipo de cálculo no sería lo suficientemente bueno como para decir cuál es diferente; en ese caso, opta por los logaritmos.
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Gracias una vez más por la explicación @ArturoMagidin
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@sidyll: Ahí hay una errata: debería ser "si". $3a/10$ es sólo un poco más pequeño que $b$ ..."