A quién se le ocurrió la $\varepsilon$ - $\delta$ definiciones y los axiomas en el Análisis Real?

Question

He visto muchas definiciones de nociones como puntos límite, puntos de acumulación, continuidad, etc, y axiomas para el conjunto de los números reales. Pero me cuesta aceptarlas como definiciones "verdaderas" o axiomas aceptables y, por ello, me resulta terriblemente difícil creer que puedo "demostrar" algo a partir de ellas. Me parece que puedo crear una aproximación a las cosas que se encuentran en el cálculo, pero me parece que estoy construyendo una falsificación en lugar de demostrar.

Lo que busco es una forma de descubrir estas cosas por mi cuenta en lugar de que alguien me las cuente. Por ejemplo, si quiero obtener el área de un círculo y conozco la definición de $\pi$ y una integral, puedo resolverlo.

Answer 1

Las formulaciones rigurosas del $\delta,\varepsilon$ definiciones de límite y continuidad, así como la $\varepsilon$ La definición de la convergencia de secuencias, en su forma actual, fue desarrollada por Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897).

Weierstrass presentó por primera vez esta formulación rigurosa del Análisis Matemático en las clases de un curso denominado Rechazo diferencial durante el año académico 1859-60 en el Königliche Gewerbeinstitut de Berlín (actualmente Universidad Técnica de Berlín ). (Véase también Artículo de Wikipedia .)

Sin embargo, una definición suficientemente rigurosa (con los estándares actuales) del límite fue dada por Bernard Bolzano en 1817.

Sin embargo, el primer gran paso hacia una $\delta,\varepsilon$ La definición aparece en la obra de Augustin Louis Cauchy _Curso de análisis_ (1821) , donde escribió:

La función $f(x)$ es continua con respecto a $x$ entre los límites dados si, entre estos límites, un incremento infinitamente pequeño en la variable siempre produce un incremento infinitamente pequeño en la propia función.

Aunque Cauchy nunca utilizó $\delta,\varepsilon$ definiciones, ocasionalmente utilizó $\delta,\varepsilon$ argumentos en sus pruebas.

Answer 2

Contrariamente a una idea errónea, en Cauchy no se encontrará una definición de continuidad épsilon, delta, ni siquiera si se mira con un microscopio. En cambio, se encontrará su definición de continuidad en términos de infinitesimales: cada incremento infinitesimal $\alpha$ produce necesariamente un cambio infinitesimal $f(x+\alpha)-f(x)$ en la función. Más concretamente, la reciente traducción

Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward Cauchy's Cours d'analyse. Una traducción comentada. Fuentes y Estudios en la Historia de las Matemáticas y las Ciencias Físicas. Springer, Nueva York, 2009

contiene el siguiente material sobre la definición de Cauchy. La sección 2.2 de Cauchy se titula Continuidad de las funciones . Cauchy escribe: "Si a partir de un valor de $x$ contenida entre estos límites, añadimos a la variable $x$ un incremento infinitamente pequeño $\alpha$ la propia función se incrementa por la diferencia $f(x+\alpha)-f(x)$ ", y afirma que "la función $f(x)$ es una función continua de $x$ entre los límites asignados si, para cada valor de $x$ entre estos límites, el valor numérico de la diferencia $f(x+\alpha)-f(x)$ disminuye indefinidamente con el valor numérico de $\alpha$ ." Cauchy continúa proporcionando una definición de continuidad en cursiva en los siguientes términos:

La función $f(x)$ es continua con respecto a $x$ entre los límites dados si, entre estos límites, un incremento infinitamente pequeño en la variable siempre produce un incremento infinitamente pequeño en la propia función.

Answer 3

Pues bien, originalmente, la definición de diferencial e integral utilizaba números infintesimales, pero eran desconocidos y parecían un sinsentido, por lo que se ideó la $\varepsilon$ - $\delta$ definiciones de límite, continuidad y otras, para precisarlo. (Más tarde, aquellos ' números infinitesimales ', en el sentido de que el conjunto de los números reales puede ampliarse agradablemente con ellos, manteniéndose lógicamente consecuente).

Pero, esto era sólo un paso intermedio en la historia, al menos para el límite y la continuidad. Por ejemplo, en general topología resulta que la definición más eficaz de la continuidad de una función $f:A\to B$ es que

La preimagen $f^{-1}(V)$ de cualquier Abrir subconjunto $V$ de $B$ es un Abrir subconjunto de $A$ . $\quad\quad \quad\quad(1)$

En cualquier espacio métrico $(X,d)$ (es decir, donde $X$ es un conjunto y $d$ representa la "distancia" definida para un par de elementos de $X$ ) los subconjuntos abiertos se definen como las uniones de bolas abiertas (de número arbitrario) $B_x(r):=\{y\in X\mid d(x,y)<r\}$ . (En particular, en $\Bbb R$ la distancia viene dada por $d(x,y):=|x-y|$ y $B_x(r)$ es el intervalo abierto $(x-r,x+r)$ .)

Intenta demostrar que la definición $(1)$ coincide con el $\varepsilon$ - $\delta$ definición para $\Bbb R\to\Bbb R$ funciones.
(Pistas: tomar la preimagen preserva las uniones arbitrarias, por lo que podemos reducir al caso cuando $V$ es una bola abierta).