Hacer real matrices siempre tienen real de los autovalores?

Question

Yo estaba tratando de mostrar que ortogonal de matrices tienen autovalores 1 o -1.

Deje $u$ ser un autovector de a $A$ (ortogonal) correspondiente al autovalor $\lambda$. Desde ortogonal de matrices de preservar longitud, $ \|Au\|=|\lambda|\cdot\|u\|=\|u\|$. Desde $\|u\|\ne0$, $|\lambda|=1$.

Ahora estoy atascado para mostrar que lambda es sólo un número real. ¿Se puede ayudar con esto?

Answer 1

Los autovalores de $$ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $$ se $\cos\theta \pm i\sin\theta= e^{\pm i\theta}$. Esta es una matriz ortogonal.

Si una matriz con entradas real es simétrico (igual a su propio transporte), a continuación, sus autovalores son reales (y sus vectores propios son ortogonales). Cada $n\times n$ matriz cuyas entradas son reales tiene al menos un autovalor real si $n$ es impar. Eso es porque el polinomio característico tiene coeficientes reales por lo que el complejo conjugado de una raíz es otra raíz, y usted no puede tener un número impar de raíces, si vienen en pares de las distintas entradas.

Pero en general, los autovalores de las matrices con entradas real no necesita ser real.

Answer 2

No, una verdadera matriz no necesariamente real de los autovalores; un ejemplo es $\pmatrix{0&1\\-1&0}$.

Por otro lado, desde esta matriz pasa a ser ortogonales y tiene los autovalores $\pm i$ -- por vectores propios $(1\mp i, 1\pm i)$ - creo que se supone que se debe considerar sólo real de los autovalores en el primer lugar.

Answer 3

Supongo que también depende de si se trabaja con espacios vectoriales sobre los números reales o espacios vectoriales sobre los números complejos.En el último caso la respuesta es no, sin embargo en la primera respuesta tiene que ser sí.No es de los chicos ?