Grupo de cuaterniones como grupo de permutación

Question

Hace poco, por si acaso, intenté representar Q8, el grupo de los cuaterniones, como un grupo de permutación. No pude averiguar cómo hacerlo.

Así que busqué en Google para ver si alguien más había puesto el grupo de permutación en la web, y me encontré con esto:

http://mathworld.wolfram.com/PermutationGroup.html

No todos los grupos son representables como grupos de permutación. Por ejemplo, el grupo de cuaterniones no puede representarse en términos de permutaciones.

Esto me parece una afirmación muy impar, porque rápidamente he comprobado esto:

http://mathworld.wolfram.com/CayleysGroupTheorem.html

Todo grupo finito de orden n puede representarse como un grupo de permutación sobre n letras

Así que parece que Q8 debería ser representable un grupo de permutación sa en 8 letras.

¿Cómo se pueden conciliar estas dos citas?

Answer 1

Siga la incrustación de Cayley: escriba los elementos de $Q_8=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$ como un conjunto ordenado, y multiplicar por la izquierda cada elemento con sucesivamente con cada elemento de este conjunto - esto produce una permutación, por ejemplo la multiplicación por la izquierda con $i$ , le da que el conjunto ordenado $(1,-1,i,-i,j,-j,k,-k)$ va a $(i,-i,-1,1,k,-k,-j,j)$ que corresponde a la permutación $(1324)(5768)$ . Etc. ¿Se puede hacer a partir de aquí? Así que se puede hacer y la afirmación en la página de WolframMathWorld - Grupos de Permutación debe estar equivocada.

Answer 2

Si $G$ es un grupo finito y $H$ un subgrupo de $G$ podemos considerar la acción de $G$ en el conjunto de cosetas izquierdas de $H$ por multiplicación a la izquierda, es decir, $g\cdot (aH) = (ga)H$ . Esta acción es trivialmente transitiva. El estabilizador de $aH$ es $aHa^{-1}$ por lo que el núcleo de la acción (es decir, el conjunto de $g$ arreglando cada $aH$ ) es la intersección de todas las $aHa^{-1}$ que es el mayor subgrupo normal de $G$ contenida en $H$ - en particular, la acción es fiel si $H$ no contiene ningún subgrupo normal no trivial de $G$ . A la inversa, dada una acción transitiva fiel de $G$ en algún conjunto (finito) $X$ si elegimos $o\in X$ y llamar a $H$ el estabilizador de $o$ cada elemento de $X$ se puede escribir $a\cdot o$ para algunos $a\in G$ y es fácil ver que el mapa del conjunto de cosetas de la izquierda $G/H$ à $X$ tomando $aH$ à $a\cdot o$ es un isomorfismo de $G$ -sets.

En otras palabras, toda acción fiel y transitiva (izquierda) de $G$ en algún conjunto (finito) $X$ puede verse como la acción natural de la izquierda de $G$ en los cosets de la izquierda de algún subgrupo $H$ que no contiene ningún subgrupo normal no trivial (y claramente, este subgrupo está determinado hasta la conjugación por la acción - corresponde a la elección de $o$ cuyo estabilizador se toma).

Ahora siempre podemos tomar $H=\{1\}$ correspondiente a la acción regular de la izquierda. Lo que ocurre con el grupo de cuaterniones (y a lo que probablemente se refería la cita de MathWorld) es que, dado que todos sus subgrupos son normales (por lo que todo subgrupo no trivial contiene un subgrupo normal no trivial, es decir, él mismo), la acción regular a la izquierda es la seulement acción fiel y transitiva que admite.

Answer 3

$Q_8$ puede representarse como sigue: $Q_8=\langle \alpha,\beta\vert \alpha^4=\beta^4=1, \alpha\beta\alpha=\beta, \beta^2=\alpha^2\rangle$ . Ahora dejemos que $\alpha=(1247)(3685)$ , $\beta=(1348)(2576)$ y $|\Omega|=8$ . Entonces $Q_8$ es un grupo de permutación en $\Omega$ .

Answer 4

No todos los grupos son representables como grupos de permutación. Por ejemplo, el grupo de cuaterniones no puede representarse en términos de permutaciones.

Que conste que la página a la que enlazaste ya no dice esto. Supongo que reconocieron que era un error y lo eliminaron en algún momento de los últimos tres años.