Si $a^3 b = ba^3$ e si $ a $ es de orden 7, muestran que $ab = ba$

Question

En una conferencia de mi profesor fue rápidamente sobre el problema:

Deje $ a $ $ b $ elementos de un grupo G. Si $ a^3 b = ba^3 $ y si tiene una orden 7, muestran que $ ab = ba $ .

El boceto de una prueba que él escribió fue como este (esto es lo que tengo en mis notas)

Qué $ (a^3)^2 = a^6 $ conmuta con $ b $?

Bien, $ a^6 = a^{-1} $ porque $ a^7 = e $

Por lo $ a^{-1}b = b a^{-1} $ $ b = aba^{-1} $ $ ba = ab $

No me siga. Parece que esto debería ser básico, pero no es para mí. Por la escritura de $ (a^3)^2 $ le parece implicar que él podría sustituir a $ (a^3)^2 $ $ a^3 $ y la puso en la ecuación original. Que no tiene sentido para mí, porque me imaginé $ a^3 $ es un claro elemento, no una variable.

No estoy seguro de cómo es la síntesis de los locales con $ a^6 = a^{-1} $ encontrar $ a^{-1}b = b a^{-1} $. Estoy esperando un poco de ayuda con eso.

Answer 1

Otro enfoque que no se trata de ir a través de la inversa: desde $a^7=e$ podemos escribir $ab = a(a^7)(a^7)b = a^{15}b$; ahora $$\begin{align}ab &=a^{15}b \\ &=\left(a^3\right)^5b &\text{by factoring }a^{15}\text{ into blocks of }a^3\\ &= \left(a^3\right)^4a^3b &\text{pulling out one factor of }a^3\\ &= \left(a^3\right)^4ba^3 &\text{commuting it past }b\text{ using }a^3b=ba^3\\ &= \left(a^3\right)^3b\left(a^3\right)^2 &\text{doing the same with another factor of }a^3\\ &=\ldots \\ &= b\left(a^3\right)^5 &\text{once we've pulled all the }a^3\text{s to the right}\\ &=ba^{15} &\text{packing them together again} \\ &=ba(a^7)(a^7)\\ &= ba &\text{reversing the process that got us from }a\text{ to }a^{15}\\ \end{align}$$

El mismo argumento es más general que en cualquier grupo, si $a$ es de orden $n$, $a^p$ desplazamientos con $b$ $\gcd(n,p)=1$ $a$ sí desplazamientos con $b$.

Answer 2

$ba^3b^{-1}=a^3$ $ba^6b^{-1}=ba^3b^{-1}ba^3b^{-1}=a^3a^3=a^6$ Por lo tanto $ba^{-1}b^{-1}=a^{-1}$; por lo $b$ viajes con $a^{-1}$ y así con cualquier poder de la $a^{-1}$ $a=a^{-6}$

Answer 3

Dada la ecuación de $a^3b=ba^3$, se multiplica por $a^3$ en ambos lados para obtener $a^{-1}b=a^6b=(a^3b)a^3=ba^6=ba^{-1}$. Por lo tanto, $b$ $a$ deben de viajar.

Answer 4

Su profesor está utilizando este hecho: Si $x$ viajes con $y$ (es decir, si $xy=yx$), luego el poder de $x$ viajes con $y$. Esto es porque usted puede mover cada una de las $x$ factor allá de la $y$, de una en una: $$x^n y = x^{n-1}xy = x^{n-1}yx=x^{n-2}xyx= x^{n-2}yx^2=\ldots = yx^n.$$ Aplicar esto en el caso de que $x=a^3$$y=b$. Estás dado que el $a^3$ $b$ viaje, por lo $(a^3)^2=a^6$ $b$ viaje. Pero $a^7 = e$, lo $a^6 = a^{-1}$. Por lo $a^{-1}$ $b$ conmutar: $$a^{-1}b = ba^{-1}$$ $$b = aba^{-1}$$ $$ba = ab.$$

Una vista de nivel superior de esto es que desde $3$ $7$ no tienen factores en común, $a^3$ debe generar el mismo orden-$7$ subgrupo como $a$. Por lo tanto, algunas de alimentación de $a^3$ es igual a $a$ (de hecho, $(a^3)^5 = a^{15} = a$), por lo $a$ viajes con $b$ porque es un poder de algo que conmuta con $b$.

Answer 5

Si ve $a^{-1}b=ba^{-1}$ como un grupo que actúa sobre sí mismo a través de la conjugación, a continuación, $b=aba^{-1}$imlpies que $b$ es invariante bajo la conjugación por $a\in G$ donde $b$ es un elemento fijo del grupo $G$. Esto significa que $b^G=\{b\}$$b\in Z(G)$. Deje $g\in G$ y el uso de nuestro anterior $b$ tenemos $gb=bg$.