¿Los anillos de los relés de masa de Mass Effect (cardán de 2 ejes) describen una rotación estable?

Question

Sólo por curiosidad. En el juego Mass Effect, los dispositivos llamados relés de masa contienen dos anillos giratorios, uno dentro del otro. Ver http://www.youtube.com/watch?v=qPxw5QjxhIs para un ejemplo, que se ve mejor alrededor de 00:10.

Me preguntaba: ¿es este un movimiento estable? Intuitivamente, diría que no lo es. Obviamente, el anillo exterior describe un movimiento de rotación normal, pero cuando se tiene en cuenta el anillo interior, me parece que se requiere una fuerza motriz adicional para mantener toda la situación. ¿Estoy en lo cierto? He tratado de aplicar algunos principios mecánicos a esto, pero no he tenido suerte hasta ahora... ¿Podría alguien dar una descripción matemática decente de esto?

Richard Terrett señaló que, de hecho, esto se llama un cardán de 2 ejes. No lo sabía, ¡gracias!

Answer 1

Primero quise recurrir a los libros de texto para resolverlo, pero sentí que este camino va a ser aburrido (especialmente si estamos hablando de Mass Effect). Así que decidí derivar las ecuaciones de movimiento para nuestro sistema a partir de los primeros principios.

Además necesito mucha trigonometría, así que usaré las manos cortas para el coseno y el seno: $$c_x=\cos x,\;s_x=\sin x$$

Empecemos por presentar coordenadas generalizadas . Obviamente, el sistema sólo tiene dos grados de libertad, por lo que nuestras coordenadas serían dos ángulos de rotación: $$\phi(t) - \mbox{rotation angle of the 'external' ring}$$ $$\theta(t) - \mbox{rotation angle of the 'internal' ring}$$ Ahora también introduzco dos ángulos más $\alpha$ y $\beta$ . Denotan la posición de una masa puntual en esos anillos. Voy a integrar sobre esos ángulos tan pronto como pueda.

Sistema de coordenadas: x -- va hacia la izquierda, y -- apunta desde la pantalla hacia ti, z -- va hacia arriba.

La posición de una masa puntual en el anillo "externo" viene dada por: $$\vec{r}_1 = R_z(\phi)\cdot a\left(\begin{array}{c}c_\alpha\\0\\-s_\alpha \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}c_\phi c_\alpha\\s_\phi c_\alpha\\-s_\alpha \end{array}\right)$$

La posición de una masa puntual en el anillo "interno" es más complicada: $$\vec{r}_2 =R_z(\phi)\cdot R_x(\theta)\cdot b\left(\begin{array}{c} c_\alpha\\0\\-s_\alpha \end{array}\right)= b\left(\begin{array}{c} c_\phi c_\beta-s_\beta s_\theta s_\phi\\ s_\phi c_\beta+s_\beta s_\theta c_\phi\\ -s_\beta c_\theta \end{array}\right)$$ Dónde $a$ y $b$ son los radios de los anillos.

Ahora, la energía cinética de estos anillos es: $$T=\int_0^{2\pi} \frac{\rho_1|\dot{\vec{r}}_1|^2}{2}a d\alpha+\int_0^{2\pi} \frac{\rho_2|\dot{\vec{r}}_2|^2}{2}b d\beta$$ Dónde $\rho_{1,2}$ son densidades lineales a lo largo de esos anillos. Tomémoslas como: $$\rho_1 = \frac{m_1}{2\pi a},\;\rho_2 = \frac{m_2}{2\pi b}$$

Después de haber sustituido todo (y de haberme abierto paso a través de las simplificaciones trigonométricas y la integración sobre $\alpha$ y $\beta$ ), obtuve la siguiente expresión: $$T = \frac{m_1 a^2}{4}\dot{\phi}^2+\frac{m_2 b^2}{4}\left(\dot{\theta}^2+(1+\sin^2\theta)\dot{\phi}^2\right)$$ Ya que (espero) no tenemos energía potencial. El Lagrangiano para nuestro sistema es sólo su energía cinética y podemos escribir su ecuaciones de movimiento . Esto es lo que tengo: $$\ddot\theta = \dot\phi^2\sin2\theta$$ $$\left[\frac{m_1 a^2}{m_2 b^2}+(1+\sin^2\theta)\right]\ddot\phi+\dot\phi\dot\theta\sin2\theta=0$$ Para mi gusto este sistema es demasiado complejo para ser estable. Pero para demostrarlo en el caso general, me temo que necesitamos soluciones numéricas.

Como alternativa, podemos explotar una peculiaridad: fíjate en que el sistema sólo tiene un parámetro externo: $$A=\frac{m_1 a^2}{m_2 b^2}$$ Veamos qué ocurre cuando $A\to\infty$ , lo que significa que el anillo externo es mucho más masivo. Lo que da: $$\ddot\phi=0\Rightarrow \dot\phi=\Omega$$ $$\ddot\theta=\Omega^2\sin2\theta$$ La última ecuación es la del péndulo simple. Puedes mirar su retrato de fase aquí en wikipedia y ver que evidentemente hay puntos de inestabilidad.

Así que incluso en este caso límite nuestra dinámica tiene algunas inestabilidades. Y estoy bastante seguro de que si fijamos $A$ a unos valores finitos, entonces nuestra dinámica será cada vez más compleja (por no decir caótica).

Answer 2

Primero la respuesta: La moción no es bastante estable, pero sólo por dos algo sutil que tu cerebro probablemente puede sentir intuitivamente:

• la velocidad a la que gira el anillo exterior (el que gira alrededor del eje vertical) tiene que acelerar y ralentizar a medida que el anillo interior se pone vertical y horizontal respectivamente. Una vez que se ralentiza y se acelera el anillo exterior, el movimiento está bien. Pero si no lo haces, tienes que proporcionar pares de torsión en la parte superior e inferior periódicamente para compensar.
• el ritmo de giro del anillo interior tiene que acelerar y ralentizar a medida que el anillo se pone horizontal y vertical, debido a la fuerza centrífuga de su armazón que tira de él hacia fuera y lo empuja hacia dentro.

Son estas dos cosas las que hacen que la velocidad de rotación del movimiento no sea uniforme, y esto hace que el movimiento parezca fuera de lugar intuitivamente. No se puede hacer que ambos movimientos sean uniformes con el mismo periodo: el anillo interior tiene que acelerar y frenar incluso en el límite de la gran masa del anillo exterior.

Cuando se hace la desaceleración y la aceleración, tal y como requiere el cambio del momento de inercia, y también la desaceleración y la aceleración requeridas por el empuje y la tracción centrífuga, este movimiento es natural. Requiere tensiones y pares en el sistema, pero son del tipo que proporciona naturalmente el soporte, son sólo las fuerzas que mantienen el soporte en su lugar.

Resolución del lagrangiano

El análisis que hizo Kostya para el lagrangiano es correcto (aunque originalmente cambié los nombres de sus ángulos). El anillo exterior está rotado por una matriz de rotación $R_z(\phi)$ mientras que el anillo interior gira en $R_z(\phi)R_x(\theta)$ , lo que significa que primero gira alrededor del eje x, y luego alrededor del eje z. El movimiento de cualquier punto a partir de un cambio en $\theta$ es siempre perpendicular al movimiento de $\phi$ , por lo que no hay términos cruzados.

El momento de inercia total del $\phi$ movimiento es la suma del momento de inercia del anillo exterior, y el momento de inercia del inclinado anillo interior.

El anillo interior, al estar inclinado, pasa de tener un momento de inercia I cuando está horizontal a I/2 cuando está vertical. Esto significa que todo el lagrangiano es

$$ L = {1\over 2} (A + C \cos^2(\theta)) \dot{\phi}^2 + {1\over 2} B \dot{\theta}^2 $$

Tal y como dice Kostya (para un movimiento interno planar C=2B). Este lagrangiano tiene una energía conservada y una $\phi$ impulso, ya que $\phi$ no aparece en L (el sistema es simétrico con respecto a las rotaciones alrededor del eje z), y esto lo reduce a un sistema de 1 grado de libertad.

De la conservación de $\phi$ el impulso,

$$ p_\phi = (A+C \cos^2(\theta)) \dot{\phi} = P $$

Lo que da la tasa de cambio de $\phi$ y el coeficiente B te dice cómo se acelera y desacelera según hagas el disco interior vertical u horizontal. La conservación de la energía te dice ahora $\dot{\theta}$

$$ H = p_\phi \dot{\phi} + p_\theta \dot{\theta} - L = L $$

Así que

$$ B\dot{\theta}^2 + {P^2\over A+ C \cos^2(\theta)} = 2E $$

El punto de esto es sólo que el $\phi$ el movimiento es no uniforme sólo en la medida en que C es distinto de cero (la misma razón por la que el anillo exterior gira de forma no uniforme), por lo que se obtiene un movimiento periódico perfectamente correcto en $\phi$ y puede ajustar el total $\theta$ período para igualar el $\phi$ período para realizar un movimiento cualitativamente parecido al que se muestra en la película. La película nunca es exacta, aunque el movimiento exterior puede ser mucho más pesado que el anillo interior, el anillo interior (si es plano) debe acelerar y frenar debido a la fuerza centrífuga.

Sentí que necesitaba intuir las tensiones implicadas para mantener los anillos en rotación, que no se ven en la formulación lagrangiana.

Algunas intuiciones sobre las tensiones

Para ver cómo funcionan las tensiones, imagina que el anillo exterior es infinitamente pesado y gira con una velocidad angular constante (esto es lo que se muestra en la película). Ahora transforme al marco de rotación. Hay dos fuerzas ficitias. La fuerza centrífuga se anula en el anillo entre los dos lados, y el efecto de esto es sólo para hacer que el anillo interior quiere explotar hacia fuera cuando es horizontal (no hay ningún efecto cuando es vertical). El efecto de esto es introducir el término de potencial centrífugo que tira del anillo horizontal, y esta es la fuente de la fuerza de péndulo de Kostya (que es la razón por la que el anillo interior puede oscilar establemente alrededor de la posición horizontal).

La fuerza de Coriolis es $\omega\times v$ Cuando el anillo está a medio camino entre la horizontal y la vertical, gira el anillo interior como un volante en una dirección definida. Esto debe ser contrarrestado por el anillo exterior, y este empuje de giro lo proporcionan los contactos. El empuje de giro es el responsable de la ralentización del anillo exterior como si fuera un patinador de hielo (pero aquí estamos asumiendo que el anillo exterior es muy masivo).

El resultado es completamente intuitivo, y se pueden entender todos los efectos--- hay un tirón del volante sobre el anillo interior en direcciones opuestas mientras está girando, que sólo tiene el efecto de frenar el anillo exterior, y que puede ser proporcionado por el agarre de la rueda exterior sobre la interior.

Answer 3

Según el teorema de la rotación de Euler, la rotación simultánea alrededor de más de un eje al mismo tiempo es imposible. Si se fuerzan dos rotaciones al mismo tiempo, aparecerá un nuevo eje de rotación. Puedes leer más sobre este teorema aquí: Enlace a Wikipedia Espero que sea de ayuda.