Un sesgo de campo $K$ se dice es algebraicamente cerrado si contiene una raíz para todos los no-constante polinomio en $K[x]$. Sé que esto es cierto para $\mathbb{C}$, que es la clausura algebraica de $\mathbb{R}$ y un cierto campo. Me pregunto si esto también es cierto para el estrictamente sesgar campo $\mathbb{H}$. Creo que no, pero no puedo encontrar un contraejemplo. Lo que sobre el conjunto de octonions $\mathbb{S}$, que no es más asociativo, o el conjunto de sedenions $\mathbb{S}$, que no es ni siquiera la alternativa? Es algebraicas closedness aún bien definido para los no-álgebras alternativas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Si por $K[x]$ te refieres al álgebra libremente generada por $K$ y un indeterminado $x$, entonces — como señalé en mi comentario — $p(x)=ix+xi-j$ no tiene raíz en $\Bbb{H}$, ya que $ix+xi$ siempre está en el plano atravesado por $\{1, i\}$.
Por otro lado, si por $K[x]$ te refieres a el subconjunto de que la libertad de álgebra que consta de las expresiones de la forma $\sum k_i x^i$, podemos generalizar topológico, la prueba del teorema fundamental del álgebra, de la siguiente manera.
Teorema: Deja de $K$ ser finito-dimensional de la normativa de $\Bbb{R}$-álgebra con $Z(K)=\Bbb{R}$, tal que el subalgebra generados por cada uno de los elemento central es isomorfo a $\Bbb{C}$. Entonces para cualquier $k_0,\dots,k_{n-1} \in K$, existe un valor de $x \in K$ que $x^n+\sum_{i=0}^{n-1} k_ix^i=0$.
Prueba: Supongamos $g(x)=x^n$; dejar $S(K)$ y $B(K)$ ser la unidad de la esfera y de la unidad de pelota en $K$. Desde el subalgebra generados por cada uno de los elemento central es isomorfo a $\Bbb{C}$, cada elemento de $S(K)$, excepto $\pm 1$ ha $n$ preimages menos de $g$. Una larga pero sencilla Jacobiana cálculo muestra que $g$ es la orientación de conservar en su programa regular de los valores; por lo tanto la restricción de $g$ a $S(K)$ ha topológico de grado $n$.
Ahora, supongamos que por el bien de la contradicción que $f(x)=x^n+\sum_{i=0}^{n-1} k_ix^i$ nunca es cero, y deje de $f_t(x)=t^nf(x/t)=x^n+\sum_{i=0}^{n-1} k_i t^{n-i} x^i$. Entonces $f_t$ es también nonvanishing. Definir un mapa de $\gamma_t:B(K) \S(K)$ $\gamma_t(x)=\dfrac{f_t(x)}{|f_t(x)|}$. Desde $B(K)$ es contráctiles, la restricción de $\gamma_t$ a $S(K)$ ha topológico de grado $0$.
Pero $\gamma_t=\dfrac{x^n+\sum_{i=0}^{n-1} k_i t^{n-i} x^i}{\left|x^n+\sum_{i=0}^{n-1} k_i t^{n-i} x^i\right|}$ es homotópica a $g$; desde topológico de grado es un homotopy invariante, tenemos una contradicción.
Esto demuestra exactamente la declaración que buscaba cuando $K=\Bbb{H}$, y para monic funciones polinómicas de esta forma en general.
Cuando $K=\Bbb{O}$, esto no acaba de demostrar la declaración de que usted estaba buscando. Dado un polinomio arbitrario de la función en la forma que usted quiere, usted no necesariamente se divide por el coeficiente inicial para obtener un monic función polinómica de la forma que desee, debido a la falta de asociatividad. No es demasiado difícil de adaptar, a pesar de que, para cualquier $\omega \en \Bbb{O}$, a la izquierda-la multiplicación por $\omega$ es un nonsingular lineal mapa, por lo que $g(x)=\omega x^n$ tiene un valor distinto de cero grado y el resto de la prueba todavía pasa.
$K=\Bbb{S}$ cero, divisores, por lo que la instrucción es trivialmente falso que hay.
Eilenberg y Steenrod, en Fundamentos de topología algebraica, demuestran una forma de encierro algebraico para el quarternions y el octononions (Cap. 11, sec. 5). La prueba utiliza teoría del grado topológico. El polinomio debe ser de la forma $m + g$, donde $ $m es un monomio de grado $n$ y $ $g es una suma de monomios de grado menor que $n$. Sin embargo, se permiten los monomios como $axbxc$ (de grado 2).