$f$ tiene una singularidad esencial en $z_0$. ¿$1/f$?

Question

Deje $\Omega$ ser un no-vacío, abierto subconjunto de $\mathbb C$. Considere la posibilidad de un holomorphic función de $f:\Omega \setminus \{z_0\} \to \mathbb C$ y supongamos que conocemos $z_0$ es una singularidad esencial de $f$.

Me pregunto ¿qué nos puede decir acerca de la función de $\tilde{f}:=\frac{1}{f}$ y su singularidad en $z_0$. ¿Sabes de algún teorema que las respuestas a esta pregunta?

En realidad, yo no puedo demostrar nada, ya que no sé la respuesta: he estudiado algunos ejemplos. Por ejemplo, si tomamos $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$ $\tilde{f}$ todavía tiene una singularidad esencial, ¿no?

Por otro lado, si tomamos $f(z)=\sin(\frac{1}{z})$, entonces creo que el $z_0=0$ se convierte en un punto límite de polos para $\tilde{f}$ (por lo que no podemos clasificarlo, porque no es un aislado de la singularidad).

Wha qué te parece? ¿Sabes de algún útil teorema sobre esto? Gracias de antemano.

Answer 1

$f$ tiene una singularidad esencial en $z_0$ si y sólo si ninguno de los siguientes sostenga:

(1) $\displaystyle \lim_{z \rightarrow z_o} f(z) \in \mathbb{C}$ (singularidad desprendible)

(2) $\displaystyle \lim_{z \rightarrow z_o} f(z) = \infty$ (poste)

Tenga en cuenta que si $1/f$ satisface (1) entonces satisface a $f$ (2) o (1) dependiendo de si el límite es 0 o no y si $1/f$ satisface entonces (2) $f$ satisface (1). Así que si $f$ tiene una singularidad esencial entonces lo debe $1/f$.

Answer 2

Los dos ejemplos esencialmente abarcan todas las posibilidades. Por el Gran Teorema de Picard, sabemos que $f$ asume todos, pero un valor en $\Bbb{C}$ infinitamente a menudo, en cualquier barrio de $z_0$.

Si la perdida de valor es$0$, $\frac{1}{f}$ tiene una singularidad aislada en $z_0$, y se debe claramente ser esencial (ya que de lo contrario $f$ sí tendría un poste o una singularidad removible).

Si la perdida de valor no es $0$, o si hay una falta de valor, a continuación, $\frac{1}{f}$ tendrá una secuencia de polos que converge a $z_0$, y de ahí la singularidad en $z_0$ no será aislado. Así, el pensamiento de $\frac{1}{f}$ como holomorphic función de su mayor dominio posible (que se omite alguna secuencia de los puntos de convergencia de a $z_0$), la singularidad en $z_0$ es técnicamente inclasificable.

Por otro lado, incluso en este caso se puede considerar $\frac{1}{f}$ como meromorphic función de $\Omega \backslash \{z_0\}$ a la extensión de los complejos de avión $\hat{\Bbb{C}}$, y cuando se la considera como tal, tiene una singularidad esencial en a $z_0$. Esto es natural cosa que hacer que sospecho que la mayoría de la gente estaría feliz con solo decir "$\frac{1}{f}$ tiene una singularidad esencial en a $z_0$."

Answer 3

Así se nos da singularidad esencial de $f$ $z_0$.

Si la función $g=1/f$ tiene un polo en $z_0$ % de orden $m$, $f=1/g$ tendrán una singularidad desprendible. En particular se trata de cero de orden $m$. Contradicción, por lo tanto $z_0$ es una singularidad esencial de $1/f$.