Idempotents en anillos sin unidad

Question

Supongamos que hay no trivial idempotents en el ring sin la unidad. Es cierto que todos ellos son divisores de cero?

Si se nos ha dado unitario anillo con unidad $e$ $a$ no es trivial idempotente, a continuación,$e-a \neq 0$. Pero $a(e-a) = 0$ $a$ es divisor de cero.

Pero no estoy seguro sobre el caso cuando el anillo no tiene unidad.

EDITAR En la no-conmutativa caso me pregunto si cada uno distinto de cero idempotente, debe haber ALGÚN tipo de divisores de cero, es decir, la izquierda o la derecha, o tal vez ambos.

Answer 1

Supongamos que es idempotent y no un derecho o izquierda cero divisor $e$. Puesto que es inyectiva, multiplicación en ambos lados por $e$ $(xe-x)e=0$ y $e(ex-x)=0$ para todas las x implica $e$ es la identidad del anillo.

Por lo que puede concluir esto:

En un ring sin identidad, un % distinto de cero idempotent $e$debe ser un divisor de cero en un lado o el otro. Si el anillo tiene una identidad diferente $e$, $e$ es un divisor de cero en ambos lados.