Conozco la serie, $4-{4\over3}+{4\over5}-{4\over7}...$ converge a $\pi$ pero he oído a mucha gente decir que, aunque este es un ejemplo clásico, hay series que convergen mucho más rápido. ¿Alguien sabe de alguna?
El Fórmula BBP es otro bonito: $$ \pi = \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{1}{16^k} \! \left( \frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6} \right) \right] $$ Se puede utilizar para calcular el $n$ dígito hexadecimal de $\pi$ sin computar el anterior $n{-}1$ dígitos.
Eso no es cierto: los primeros n-1 elementos de la serie sí afectan al n-ésimo dígito, ya que cada elemento es sólo un número con una expansión hexadecimal infinita Inicio en torno al dígito k-ésimo. afecta mucho a los demás dígitos.
@Ekuurh: Tienes razón, la formulación "puede utilizarse" puede ser un poco engañosa. La fórmula puede ser utilizado para lo que reclamo, pero con cada vez más $n$ el tiempo de cálculo aumenta como $n\ln n$ .
Creo que puede ser interesante navegar por la página web de Jon Borwein que yo llamaría la referencia estándar para su pregunta. En particular, eche un vistazo a la última versión de su charla sobre " La vida de pi " (¡y sus referencias!), que incluye muchos de los algoritmos y series de convergencia rápida utilizados en la práctica para los cálculos de alta precisión de $\pi$ como la de este Verano .
Para que la gente se haga una idea de las tasas de convergencia, he aquí un gráfico de $-\log_{10}\left|\frac{S_n-\pi}{\pi}\right|$ frente a $n$ , donde $S_n$ es la enésima suma parcial de la serie en cuestión, para tres de las series que aparecen en las respuestas a esta pregunta (nótese la escala vertical):
Las tres series son, de arriba a abajo, $\arctan(1)$ (la serie mencionada por el OP), $2\arcsin\left(\sqrt{\frac12}\right)$ (la serie mencionada por yjj en su respuesta), y la serie de Ramanujan que mencioné en los comentarios (no incluí la serie de los hermanos Chudnovsky, ya que converge aún más rápido que la serie de Ramanujan, y eso hace que las tramas sean aburridas).
Aquí hay uno muy bonito debido a Simon Plouffe. Hay muchos ejemplos similares en su documento vinculado.
$$\pi = 72\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(e^{n\pi} - 1)} - 96\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(e^{2n\pi} - 1)} + 24\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(e^{4n\pi} - 1)} .$$
Lo que me gusta es que puedo ver de un vistazo que las series convergen rápidamente sin tener que hacer alguna estimación mental del tamaño de los factoriales.
Sin embargo, esto no es necesariamente circular, ya que hay algoritmos que computan $e^{\pi}$ muy eficazmente sin utilizar el valor de $\pi$ . De forma similar, existen algoritmos que calculan $\sin\frac{\pi}{n}$ para $n\in\mathbb{N}$ sin utilizar el valor de $\pi$ . También, $e^\pi$ es uno de los números trascendentales más accesibles en términos de cálculo.
Mi punto es que para cada entero positivo $k$ se puede encontrar una secuencia cuyo $k$ los primeros términos dan $\pi$ a saber $\pi=\pi/k+\ldots + \pi/k$ .
Lo que quiero decir es que la velocidad de convergencia depende mucho de los números que puedas utilizar. Si utilizas números algebraicos entonces necesitas infinitos términos. Pero si puedes utilizar números trascendentales, entonces puedes hacer lo mismo en un número finito de términos. Si $S$ es un conjunto de números reales cuya suma es $\pi$ entonces $|S|$ puede ser cualquier cosa mayor que 0.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
4 votos
He aquí una referencia pertinente: es.wikipedia.org/wiki/
0 votos
Una pregunta estrechamente relacionada: math.stackexchange.com/questions/297/
34 votos
Eso sería Ramanujan $$\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$$ o la de los hermanos Chudnovsky $$\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}$$
4 votos
Como nota adicional: cuando se utiliza la serie para la arctangente, la serie converge más lentamente a medida que uno se acerca al límite de convergencia $|z|=1$ ; la razón por la que las fórmulas de Machin funcionan bien es que expresan $\pi$ como sumas de series arctangentes con argumentos cercanos al punto de expansión $z=0$ .
2 votos
@J.M. Creo que tu último comentario, si se amplía un poco, puede ser una buena respuesta a la pregunta.
0 votos
Me he limitado a repetir lo que ya se ha dicho en otras respuestas dispersas por este sitio, así que me parece bien que se queden como comentarios :)
0 votos
J.M.: ¿Cuál es más rápido, el de Ramanujan o el de los hermanos Chudnovsky?
0 votos
@NotSuper: La fórmula de los Chudnovskys. Compara la tasa de decaimiento de los términos de ambas series....