Series que convergen a $\pi$ rápidamente

Question

Conozco la serie, $4-{4\over3}+{4\over5}-{4\over7}...$ converge a $\pi$ pero he oído a mucha gente decir que, aunque este es un ejemplo clásico, hay series que convergen mucho más rápido. ¿Alguien sabe de alguna?

Answer 1

El Fórmula BBP es otro bonito: $$\pi = \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{1}{16^k} \! \left( \frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6} \right) \right]$$ Se puede utilizar para calcular el $n$ dígito hexadecimal de $\pi$ sin computar el anterior $n{-}1$ dígitos.

Answer 2

Creo que puede ser interesante navegar por la página web de Jon Borwein que yo llamaría la referencia estándar para su pregunta. En particular, eche un vistazo a la última versión de su charla sobre " La vida de pi " (¡y sus referencias!), que incluye muchos de los algoritmos y series de convergencia rápida utilizados en la práctica para los cálculos de alta precisión de $\pi$ como la de este Verano .

Answer 3

Para que la gente se haga una idea de las tasas de convergencia, he aquí un gráfico de $-\log_{10}\left|\frac{S_n-\pi}{\pi}\right|$ frente a $n$ , donde $S_n$ es la enésima suma parcial de la serie en cuestión, para tres de las series que aparecen en las respuestas a esta pregunta (nótese la escala vertical):

Las tres series son, de arriba a abajo, $\arctan(1)$ (la serie mencionada por el OP), $2\arcsin\left(\sqrt{\frac12}\right)$ (la serie mencionada por yjj en su respuesta), y la serie de Ramanujan que mencioné en los comentarios (no incluí la serie de los hermanos Chudnovsky, ya que converge aún más rápido que la serie de Ramanujan, y eso hace que las tramas sean aburridas).

Answer 4

Aquí hay uno muy bonito debido a Simon Plouffe. Hay muchos ejemplos similares en su documento vinculado.

$$\pi = 72\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(e^{n\pi} - 1)} - 96\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(e^{2n\pi} - 1)} + 24\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(e^{4n\pi} - 1)} .$$

Lo que me gusta es que puedo ver de un vistazo que las series convergen rápidamente sin tener que hacer alguna estimación mental del tamaño de los factoriales.

Answer 5

La convergencia puede ser arbitrariamente rápida a menos que no se especifique qué tipo de serie se está buscando. Dejemos que $k$ sea un número entero positivo, $a_n=\pi/k$ si $n\leq k$ y cero en el resto. Entonces $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge a $\pi$ después de $k$ sumandos.