Muestran que la única solución para $\phi(n) =n-2$ $n=4$

Question

Llegó a través de esta pregunta en la Teoría de números.

Deje $\phi$ el valor de Euler totient función; Mostrar que la única solución a $\phi(n) =n-2$ $n=4$

Mis trabajos hasta la fecha han incluido, en primer lugar, demostrando que $4$ es de hecho una solución, también he notado que la solución no puede ser la mejor porque $\phi(p)=p-1$.

A partir de aquí, pude notar que mi solución debe ser compuesto, y la única manera en que podría tener sólo 2 números que no son coprime sería si n es un número cuadrado?

No estoy seguro de cómo probar esto completamente, aunque.

También, podría incorporar el hecho de que $\phi(p^k)=p^{k-1}(p-1)$ en cualquier forma?

Toda la ayuda grandemente apreciada. Gracias.

Answer 1

$\varphi(n)$ es incluso para cada $n \ge 3$, por lo que sería necesario $n$ aun así. Sin embargo, si escribe $n = 2^k m$, $m$ impar, entonces el $$ n - 2 = \varphi(n) = \varphi(2^k) \varphi(m) = 2^{k-1} \varphi(m) \le 2^{k-1} m = \frac{n}{2}$$ which severely limits the possibilities for $n$.

Answer 2

La ecuación de $\phi(n) = n - 2$ significa que hay $n - 2$ cifras en $\{1, 2, \dots, n\}$ que son relativamente primos a $n$. En otras palabras, hay exactamente dos números en $\{1, 2, \dots, n\}$ que no relativamente primer a $n$. Uno de ellos por supuesto es $n$ sí. Así que no es exactamente un número de otros, en $\{2, \dots, n-1\}$, que comparte algunos factores en común con $n$.

Ahora como se observa, $n$ no puede ser el primer (porque entonces no hay ninguno). Por lo $n$ es compuesto, y por lo tanto tiene algunos de los mejores del factor de $p$. Este es un número con el que $n$ de las acciones de un factor común, y si $n > 2p$, $2p$ es otro ejemplo de número. Por lo $n = 2p$. Ahora sabemos que $n$ es par, es decir, $2$ es un primer factor $p$$n$, y de $n = 2p$, obtenemos $n = 2\times2 = 4$.

Answer 3

Sugerencia: Sabemos que $(n,n-1)=1$ y $(1,n)=1$. ¿$n >4$, Se puede utilizar números primos para llegar a un mayor entero coprimo menos de $n$?