Demostrar que los ceros de una función analítica son finitos y aislados

Question

Supongamos que los ceros de $f = \{Z_1,\ldots,Z_n,a\}$ son infinitas y convergen hacia $a$ .

El libro que estoy leyendo dice que cualquier barrio de $a$ contendrá infinitos ceros. Dado que $f$ es continua, $f$ debe ser idénticamente cero en esta vecindad. .....(A)

Entonces, a medida que el vecindario crezca, será idénticamente $0$ en ese barrio también hasta que engulla toda esta región. Por lo tanto, la función se hace idénticamente cero en toda la región.

No entiendo muy bien (A). Estoy confundido sobre (A) con esta analogía. Consideremos $f(z) = z-1$ . Esto tiene un cero en $z=1$ . Desde $f$ es continua en $z$ plano, esto significa que según (A) los puntos en la vecindad de $z =1$ también debe tener valor asignado $= 0$ .

Estoy confuso; ¿dónde podría estar cometiendo un error? Gracias

Answer 1

La declaración es incorrecta tal y como la has citado. Tome $f \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $$ f(x) = \begin{cases} x\sin \frac{1}{x} &\textrm{if } x > 0 \\ -x &\textrm{if } x \leq 0 \text{.} \end{cases} $$ Desde $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 0$ (y obviamente también $\lim_{x\to 0^-} f(x) = 0$ ), esa función es continua. Tiene ceros en $$ \left\{\frac{1}{n\pi} \,:\, n \in \mathbb{N}\right\} \text{,} $$ que obviamente tienen $0$ como punto de agrupación. Sin embargo, $f$ no es idénticamente cero en cualquier barrio de $0$ .

Sin embargo, para las funciones analíticas también tienen que son $C^\infty$ . Probablemente tengas que usar eso. Tenga en cuenta que sólo que requiere $C^\infty$ no es suficiente. Por ejemplo $$ f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} \sin \frac{1}{x} &\textrm{if } x > 0 \\ -x &\textrm{if } x \leq 0 \text{.} \end{cases} $$ Que $e^{-\frac{1}{x}}$ debe amortiguar las cosas lo suficientemente fuerte como para garantizar la existencia de todos los derivados de $f$ a cero, es decir $f$ debe ser $C^\infty$ pero el teorema sigue sin cumplirse ya que $f$ todavía no es idénticamente cero en una vecindad de cero.

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Así que de lo anterior está claro que tenemos que utilizar que $f$ es analítica para demostrar el teorema. Supondremos que $a = 0$ (basta con mirar $f'(x)=f(x+a)$ si no lo es). Dejemos que $(x_n)$ sea una secuencia de ceros de $f$ con $x_n \to 0$ . Desde $f$ es analítica en $0$ , hay un $r \geq 0$ tal que para todo $|x| < r$ tenemos $$ f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{.} $$ Supongamos además que $|x_n| < r$ para todos $n$ y que $|x_{n+1}| < |x_n|$ (Basta con quitar esos $x_n$ que infrinjan una de las condiciones. Dado que la secuencia converge a 0, infinitas $x_n$ permanecerá). A partir de la continuidad de $f$ se deduce que $f(0)=0$ es decir, que $c_0 = 0$ . Para $f(x_n)$ sea cero, debe cumplirse que \begin{align} &\sum_{k=0}^\infty c_k x_n^k = 0 \implies \underbrace{c_0}_{=0} + c_1 x_n = -x_n^2\sum_{k=2}^\infty c_k x_n^{k-2} \implies c_1 = -x_n\sum_{k=2}^\infty c_k x_n^{k-2} \\ \implies &|c_1| \leq |x_n|\underbrace{\sum_{k=2}^\infty |c_k| |x_n|^{k-2}}_{:=M_n} \text{.} \end{align} (El último paso utiliza que la serie es absolutamente convergente, lo que se tiene para expansiones en serie de funciones analíticas)

Ahora observe que puesto que $|x_{n+1} < x_n|$ tienes $M_{n+1} \leq M_n$ y, por tanto, para $n$ que $|c_1| \leq |x_n|M_n$ . Pero como $x_n \to 0$ se deduce que $c_1=0$ .

Sabiendo que $c_1=0$ se puede utilizar el mismo método para demostrar que, de hecho $c_2=0$ y a partir de ahí $c_3=$ etc. Así se consigue que todos los $c_n$ son cero y, por tanto, que $f$ es idénticamente cero en la bola de radio $r$ en torno a $0$ .

Answer 2

Creo que el problema es que la continuidad no es suficiente. (Aunque no se me ocurre ningún contraejemplo). Lo que realmente necesitas es que la función sea holomorfa en alguna vecindad de sus ceros.

Conozco el resultado relacionado (conocido como "principio de los ceros aislados"):

Supongamos que $f:B_a(r)\rightarrow \mathbb{C}$ es una función holomórfica distinta de cero en $B_a(r)$ con $f(a) = 0$ . Entonces $\exists 0 <\rho<r$ tal que $\forall z \in B_a(\rho)\text{ \ }\{a\}, f(z) \not = 0$ .

Para demostrarlo, necesitamos el teorema de Taylor. Éste dice que en $B_a(r)$ , $f$ puede escribirse como

$$f(z) =\sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n$$ Si $N$ es el mayor número entero tal que $a_n = 0$ para todos $n \leq N$ entonces podemos escribir $f(z) = (z-a)^Ng(z)$ donde $g$ es una función holomorfa y $g(a)$ no es cero. Por la continuidad de $g$ hay algún balón abierto por ahí $a$ (llámalo $B_a(\rho)$ ) donde $g$ no es cero, por lo que $(z-a)^N$ es distinto de cero en $B_a(\rho)\text{ \ }\{a\}$ , $f$ también es distinto de cero.

Answer 3

El conjunto de ceros de una función analítica puede ser contablemente infinito. Por ejemplo $f(z)=\sin\left(\frac1z\right)$ es analítica en $C\setminus\{0\}$ . Es cierto que El conjunto de Ceros de una función analítica a lo sumo contablemente infinito.