La evaluación,
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{F_{2^n}}=\frac{7-\sqrt{5}}{2}=\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^3+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2$$
recientemente se ha preguntado en un post de Chris aquí.
Me gustan las generalizaciones, y resulta que esta no es una característica exclusiva de la serie de Fibonacci. Si usamos los números de Pell $P_m = 1,2,5,12,29,70,\dots$ entonces la suma es también un algebraicas número de grados 2. En general, parece que para cualquier positivos racionales b, entonces,
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{b^2+4}}\left ( \left(\frac{b+\sqrt{b^2+4}}{2}\right)^{2^n}-\left(\frac{b-\sqrt{b^2+4}}{2}\right)^{2^n}\right)}=1+\frac{2}{b}+\frac{b-\sqrt{b^2+4}}{2}$$
donde los números de Fibonacci son sólo el caso b = 1, los números de Pell b = 2, y así sucesivamente. (Para los racionales negativos b, entonces uno simplemente utiliza el caso positivo de $\pm\sqrt{b^2+4}$.)
Alguien sabe cómo demostrar/refutar la conjetura de evaluación?
