Elegante aplicaciones técnicas avanzadas a los problemas de la "Olimpiada"

Question

Estoy interesado en las aplicaciones de algo "maquinaria avanzada" (con respecto a la costumbre de la maquinaria involucrada en estos casos, que es generalmente de primaria) a la olimpiada o (a nivel de escuela secundaria) concurso de problemas en matemáticas que producen simple, en el entendimiento provocando soluciones.

Esto puede ser algo tan simple como básicos de la teoría de grupo o de álgebra lineal, por ejemplo. Voy a publicar un ejemplo de lo que estoy buscando como una respuesta.

Por favor, no publicar broma-ish cosas como el "Último Teorema de Fermat es demasiado débil para demostrar que $\sqrt 2$ es irracional" cosa, por favor.

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Tal vez podríamos hacer de este CW y tener diferentes respuestas, cada una de las aplicaciones de un área específica de las matemáticas?

Answer 1

Un ejemplo sería el de Tim Gowers' hermosa prueba de el siguiente problema:

Deje $n$ ser un entero par. Cuántos subconjuntos del conjunto $\{1,2,\dots,n\}$ usted puede escoger si todos ellos tienen que tener impar tamaño, pero la intersección de dos cualesquiera de ellos incluso han tamaño?

el uso básico de álgebra lineal sobre campos finitos.

De manera concisa, considera que la característica de los vectores de estos subconjuntos y muestra que deben ser linealmente independientes sobre $\Bbb F_2$ para la condición de mantener, por lo que el número máximo de subconjuntos es sólo $n$.

Comida para llevar de la idea: el producto escalar de los vectores característicos ( $\Bbb Z$ , por supuesto) es igual al tamaño de la intersección.