A la derecha del triángulo donde el perímetro = área*k

Question

Yo era escribir sobre algún pedazo de papel de un problema que surgió en mi mente. Después de unos minutos de resultless intenta, yo avanzadas para tratar de resolver el problema mediante un equipo de medios.

El problema señalado es

Hace un triángulo de ángulo recto con el entero lados, de manera que $$P = A\cdot k \quad \quad \text{or} \quad \quad k\cdot P = A$$ where $(P , \ A , \ k )\in \mathbb{N}$ existir?

(Aquí P es el perímetro del triángulo. Suma de los lados. Y a es el área del triángulo. a*b/2 en un triángulo con a b c y c es la hipotenusa)

Obviamente, para los casos simples triángulos existe. Para un ejemplo cuando

$ A=2P \qquad $ el triángulo $12,16,20$ obras

$ A=P \qquad \; \; $ el triángulo $6,8,10$ obras

$2A=P \qquad $ el triángulo $3,4,5$ obras

He probado la solución de este por parte, en primer lugar para el caso especial donde $2P=A$. Esto terminó dándome

$$ \frac{a \cdot b}{2} = A $$

y

$$ P = \frac{A}{2} = \frac{a \cdot b}{4} \qquad \text{also} \qquad P = a + b + c $$

Así

$$ \frac{ab}{4} = a + b + c $$

Por saber que este es un ángulo recto, esto conduce a la ecuación (Usando el teorema de Pitágoras)

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Ahora tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas, que también necesita ser enteros! Lamentablemente yo no era capaz de continuar a partir de aquí. Sólo he aprendido a resolver lineal Diophantine ecuaciones. No es un sistema no lineal de Diophantine ecuaciones.

Sólo reiterar mi pregunta =)

Hay un triángulo de ángulo recto con el entero lados, de manera que $$P = A\cdot k \quad \quad \text{or} \quad \quad k\cdot P = A$$ where $(P , \ A , \ k )\in \mathbb{N}$ ?

Saludos, Werner

Answer 1

Tenemos las siguientes relaciones: $$P=a+b+c,\quad 2A=ab,\quad a^2+b^2=c^2$$

De hecho, hay uno más que está implícito: la desigualdad de triángulo $a+b>c$ (que es la continuación de $a^2+b^2=c^2$). Queremos que se refieren el primer y el segundo a las relaciones, y así que después de mirar fijamente el problema por un tiempo, nos damos cuenta de que el curso de acción correcto es multiplicar $P$ $a+b-c$ (el último garantizado a ser positivo por la desigualdad de triángulo). Esto nos da:

$$\begin{align}P(a+b-c)&=(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2-c^2\\ &=a^2+b^2+2ab-c^2=2ab=4A \end{align}$$

Por lo tanto, en general, para un triángulo rectángulo tenemos $k=A/P=(a+b-c)/4$, por lo que la cuestión se reduce a cuando la diferencia entre la suma de las longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa divide o es divisible por $4$, para un triángulo rectángulo con el entero de lado de longitud.

Aquí lo que en realidad necesitan para generar ternas pitagóricas $(a,b,c)$ tal que $a,b,c$ son enteros y $a^2+b^2=c^2$; la página de la wikipedia, aquí da una buena imagen de Euclides de la fórmula que recomiendo pensamiento a través de. Euclides de la fórmula es la siguiente:

$$a=m^2-n^2,\quad b=2mn\quad c=m^2+n^2$$ for integers $m>n$.

A continuación, la cantidad de $a+b-c$$m^2-n^2+2mn-m^2-n^2=2n(m-n)$, lo $A/P=k=n(m-n)/2$. Las opciones que hay ahora de que cualquiera de las $2$ divide $n$ o $2$ divide $m-n$, por lo tanto, tienen $n=2d$ $m=k/d+2d$ o $n=d$ $m=2(k/d)+d$ para los divisores $d$$k$.

($P/A=k$ necesitamos $2n(m-n)$ brecha $4$, lo $n(m-n)$ debe dividir $2$, lo que $n=1$, $m=2$, $n=1$, $m=3$, y $n=2$, $m=3$ son las únicas soluciones, lo que nos da $(3,4,5)$, $(8,6,10)$, $(5,12,13)$ con $k=2,1,2$ siendo el único posibilidades).

Answer 2

No es un método de generación de todas las ternas Pitagóricas, que se remonta al menos en principio a la hora de Euclides. Usted puede encontrar los detalles en este artículo de la Wikipedia interesante.

Como un breve resumen, aparte de que el orden en que los dos pies están en la lista, todas las ternas Pitagóricas $(x,y,z)$ tienen la forma $$x=\lambda(m^2-n^2),\qquad y=\lambda(2mn), \qquad z=\lambda(m^2+n^2),\qquad (\ast)$$ donde $m$, $n$, y $\lambda$ son enteros positivos.

Para un triángulo, como se describe en $(\ast)$,$P=\lambda(2m^2+2mn)$$A=\lambda^2mn(m^2-n^2)$. Así, las ecuaciones (i) $P=kA$ y (ii) $A=kP$ puede escribirse como

(i) $\lambda(2m^2+2mn)=k\lambda^2mn(m^2-n^2)$ y

(ii) $k\lambda(2m^2+2mn)=\lambda^2mn(m^2-n^2)$.

La ecuación (i) se arruina rápidamente. Cancelación de da $k\lambda n(m-n)=2$, y la lista de soluciones es corto. Hay dos posibilidades, $k=2$$k=1$. Si $k=2$, $\lambda=1$ y $m=2$, $n=1$, lo que le da su ejemplo,$(3,4,5)$. Si $k=1$, luego $\lambda=2$, $m=2$, $n=1$ o $\lambda=1$, $m=3$, $n=1$, o $\lambda=1$, $m=3$, $n=2$. Obtenemos los ejemplos $(6,8,10)$$(5,12, 13)$. Eso es todo.

La ecuación (ii) es más interesante. Cancelación da $$\lambda n(m-n)=2k. \qquad(\ast\ast)$$ Para cualquier $k$, podemos encontrar una solución, por ejemplo, mediante el establecimiento $\lambda=1$, $n=2k$, y $m=2k+1$. O, menos curiosamente, podemos poner $\lambda=k$, $m=2$, $n=1$, lo que da una versión a escala de la familiar $3$-$4$-$5$ triángulo.

Por $k$, podemos encontrar una forma explícita de generar todas las soluciones de $(\ast\ast)$, y obtener un recuento de ellos. Para cualquier fija $k$, hay sólo un número finito de soluciones. A grandes rasgos, si $k$ tiene muchos divisores, a continuación, hay muchas soluciones, ya que generar las soluciones, atendiendo a factores de $2k$.

Answer 3

Si usted elige enteros positivos $a$$b$, usted puede hacer un triángulo rectángulo con lados
$a^2-b^2\text{, } 2ab \text{ and } a^2+b^2,$
y todos los triángulos rectángulos se pueden encontrar de esta manera mediante la variación de los valores de $a$$b$.

Si tenemos un triángulo, su área es de $$\frac{1}{2}(a^2-b^2)\times 2ab = ab(a^2-b^2)$$ y su perímetro es $$a^2-b^2 + 2ab + a^2+b^2 = 2a(a+b).$$

Para la primera parte de su pregunta que desea establecer $$ab(a^2-b^2)\times k = 2a(a+b).$$ Podemos escribir esto como $$ab(a-b)(a+b) = 2a(a+b)$$ y, a continuación, cancelar la $a$ e las $(a+b)$ a cada lado (ni son cero, por lo que está bien) y obtener $$b(a-b)k = 2\quad\text{, and finally}$$ $$k = \frac{2}{b(a-b)}.$$

Queremos $k$ a ser un número entero, por lo que sólo puede ser 1 o 2.
Si $k=1$ , $b(a-b)$ debe ser igual a $2$ y esto puede suceder de dos maneras: al $a=3\text{ and }b=2$, el cual se produce la 5-12-13 triángulo, y al$a=3$$b=1$, el cual se produce la 6-8-10 triángulo.
Si $k=2$ , $b(a-b)$ debe ser igual a $1$ y la única manera en que esto puede suceder es que cuando $a=2\text{ and }b=1$. Estos valores de $a$ $b$ producir el triángulo 3-4-5.

Para la segunda parte de tu pregunta que desea establecer $$ab(a^2-b^2) = 2a(a+b)\times k.$$ Podemos reducir este como antes y llegar a $$k = \frac{b(a-b)}{2}.$$ Hay un montón de diferentes valores de $a$ $b$ que hacen de $k$ un entero.

Answer 4

Estoy bastante seguro de que no han entendido bien tu pregunta. Yo pensaba que usted pidió, y luego respondió, "¿existe un derecho-triángulo cuyo perímetro es igual a la zona de escalada por una constante, donde el área, el perímetro y los escalares son números enteros positivos?"

Sí. Usted ha mencionado que tres de ellos en tu post original. La existencia es confirmado, la pregunta es contestada.

O ¿en realidad pedir algo más?