Obligado en $|f(x)|^2 + |f'(x)|^2$

Question

Deje $f\in C^2(\mathbb{R})$ ser dos veces derivable la función de la satisfacción de $$|f(x)|^2\le a$$ and $$|f'(x)|^2 + |f''(x)|^2\le b$$ for all real $x$, donde $a$ $b$ son constantes positivas. Demostrar que $|f(x)|^2 + |f'(x)|^2\le \max(a, b)$ para todos los verdaderos $x$.

Answer 1

Para encontrar el supremum de $|f(x)|^2+|f'(x)|^2$, ten en cuenta que $$ \begin{align} |f(x)|^2+|f'(x)|^2 &\le|f(x)|^2+\left(|f'(x)|^2+|f''(x)|^2\right)\\ &\le a+b\tag{1} \end{align} $$ por lo $|f(x)|^2+|f'(x)|^2$ está acotada. Además, $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(|f(x)|^2+|f'(x)|^2\right) &=2f(x)f'(x)+2f'(x)f''(x)\\ &=2f'(x)\left(f(x)+f''(x)\right)\tag{2} \end{align} $$ 1. Si $|f(x)|^2+|f'(x)|^2$ alcanza un máximo, $f'(x)=0$ o $f(x)=-f''(x)$.

$\quad$. Si $f'(x)=0$,$|f(x)|^2+|f'(x)|^2=|f(x)|^2\le a$.

$\quad$b. Si $f(x)=-f''(x)$,$|f(x)|^2+|f'(x)|^2=|f'(x)|^2+|f''(x)|^2\le b$.

2. Si $|f(x)|^2+|f'(x)|^2$ no alcanzar su máximo, luego

$\quad$. hay una secuencia de aumento de los máximos locales como $x\to\infty$ o $x\to-\infty$, o

$\quad$b. finalmente, monótonamente, aumenta al máximo como $x\to\infty$ o $x\to-\infty$.

En el caso 2a, aplicar 1. a cada máximo local.

En caso 2b, el valor medio teorema dice que hay una secuencia $x_n\to\infty$ o $x_n\to-\infty$, de modo que $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(|f(x_n)|^2+|f'(x_n)|^2\right)\to0$ $|f(x)|^2+|f'(x)|^2$ aumenta su supremum. Así, por $(2)$, eventualmente $\left|f'(x_n)(f(x_n)+f''(x_n))\right|\le\epsilon^2$. A continuación, cualquiera de $\left|f'(x_n)\right|\le\epsilon$ o $\left|f(x_n)+f''(x_n)\right|\le\epsilon$.

$\quad$c. Si $|f'(x_n)|\le\epsilon$,$|f(x_n)|^2+|f'(x_n)|^2\le a+\epsilon^2$.

$\quad$d. Si $|f(x_n)+f''(x_n)|\le\epsilon$, luego $$ \begin{align} |f(x_n)|^2+|f'(x_n)|^2 &\le|f'(x_n)|^2+|f''(x_n)|^2+|f(x_n)+f''(x_n)|\,|f(x_n)-f''(x_n)|\\ &\le b+(\sqrt{a}+\sqrt{b})\epsilon \end{align} $$ Desde $\epsilon$ fue arbitraria, hemos terminado.