Lema en Petersen *Ergodic Theory*

Question

Estoy tratando de entender la prueba del Lema 6.2.1 (p.260-261) en Petersen Ergodic Theory. Específicamente, no entiendo por qué la $B_{n}^{A} \in \mathscr{B}(T^{-1}\alpha \vee \dots \vee T^{-n}\alpha)$ mantiene. ¿Por qué no?

Esta es la configuración:

• $(X,\mathscr{B}, \mu)$ es un espacio de probabilidad
• $T\colon X \to X$ es una medida de preservación de la ergodic transformación
• $\alpha$ es una contables medibles partición de $X$ con un límite de la entropía
• $\mathscr{B}(T^{-1}\alpha \vee \dots \vee T^{-k}\alpha)$ indica el $\sigma$-álgebra generada por el común de refinamiento de las particiones $T^{-1}\alpha, \dots, T^{-k}\alpha$.
• $B_{n}^{A} := \{x \colon f_{1}^{A}(x), \dots, f^{A}_{n-1} \leq \lambda, f_{n}^{A} > \lambda\}$ donde $A\in \alpha$ es fijo e $\lambda \geq 0$
• $f_{k}^{A} = -\log \mu(A|T^{-1}\alpha \vee \dots \vee T^{-k}\alpha)$

Así que, de nuevo, mi pregunta es: ¿Por qué es $B_{n}^{A} \in \mathscr{B}(T^{-1}\alpha \vee \dots \vee T^{-n}\alpha)$?

Edit: realmente sólo es necesario comprender esto para el caso en que $T$ es el cambio en el Cantor del espacio; es decir,$X=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$. Así que una respuesta en esta configuración será suficiente.

Answer 1

Utilizando la definición de $f_k^A$ vemos que es $\mathscr B (T^{-1}\alpha\dots T^{-k}\alpha) |\mathscr B(\mathbb R)$medible función de lo que implica la medición del mapa $$ f = (f_1^A,\dots,f_n^A):(X,\mathscr B (T^{-1}\alpha\dots T^{-n}\alpha))\(\mathbb R^n,\mathscr B(\mathbb R^n)). $$ Finalmente, el conjunto de $C = (-\infty,\lambda]^{n-1}\times(\lambda,\infty)\in \mathscr B(\mathbb R^n)$ $B_n^A = f^{-1}(C)$ que contesta a tu pregunta