La prueba de que la serie diverge

Question

Demostrar que $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(1+1/2+\cdots+1/n)}$ diverge.

Creo que la única manera de probar esto es encontrar otra serie para comparar el uso de la comparación o el límite de las pruebas. Hasta ahora, he sido incapaz de encontrar una serie.

Answer 1

Esta respuesta es similar en espíritu a Didier Piau la respuesta.

El siguiente teorema es una herramienta muy útil:

Supongamos que $a_k > 0$ forma una disminución de la secuencia de los números reales. Entonces $$\sum_{k=1}^\infty a_k$$ converges if and only if $$\sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k}$$ converge.

Aplicando esto al problema de la mano estamos reducidos a la investigación de la convergencia de $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{1 + 1/2 + \dots + 1/2^k}$$ Pero uno ve que $$1 + 1/2 + \dots + 1/2^k \le 1 + 2 \cdot 1/2 + 4 \cdot 1/4 + \dots + 2^{k-1}\cdot1/2^{k-1} + 1/2^k \le k + 1.$$ Porque $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}$$ diverge, hemos terminado.

Answer 2

Sugerencias: 1. Para cada $k\geqslant0$, la suma de $\frac1n$ $n=2^k$ $n=2^{k+1}-1$es en la mayoría de las $1$. 2. Para cada $k\geqslant0$ y cada una de las $n$ tal que $2^k\leqslant n\leqslant 2^{k+1}-1$, $1+\frac12+\cdots+\frac1n\leqslant k+1$ y $\frac1n\geqslant\frac1{2^k}$. 3. Para cada $k\geqslant0$, los términos de $n=2^k$ $n=2^{k+1}-1$de la serie de intereses que se suma a al menos $\frac1{k+1}$. 4. La serie armónica diverge.

Answer 3

Vamos $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$. $H_n$ se conoce como suma de armónicos. Tenga en cuenta que $H_{n+1} - H_n = \frac{1}{n+1}$. Ahora, considere la posibilidad de $d_n = H_n - 1 - \ln(n)$. Entonces $d_{n+1} - d_n = \frac{1}{n+1} + \ln\left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) < 0$, $\forall n \ge 1$ lo que sigue a partir de la $\ln(1-x) < -x$$0<x<1$.

Ahora, desde la $d_{n+1} - d_n < 0$$d_1 = 0$, se deduce que el $H_n \le 1 + \ln(n)$, y por lo tanto $\sum_{n=1}^m \frac{1}{n H_n} \ge \sum_{n=1}^m \frac{1}{n( 1 + \ln(n))}$. Desde el último diverge integral de la prueba, también lo hace la suma original.

Answer 4

Un posible enfoque cosa a hacer es mostrar que este es mayor que $$\int_{x=1}^{n+1} \frac{1}{x \log_e(x)}dx = \log_e(\log_e(n+1))$$ or some multiple of it, and show that the later diverges as $$ n aumenta.