Una pregunta acerca de los subgrupos de Sylow

Question

Deje $G$ ser un grupo finito y $P\neq\{e\}$ ser un Sylow $p$-subgrupo de $G$ $P^g\neq P$ ser su conjugado en $G$. Si sabemos que $P\cap P^g\neq \{e\}$, podemos concluir que el $Z(P)\cap Z(P^g)\neq \{e\}$?

Answer 1

Creo $G=S_4$, $p=2$ es un contraejemplo. El Sylow $2$-subgrupos son todos isomorfo al grupo diedro $D_4$, e $Z(D_4)\cong C_2$. Hay tres Sylow $2$-subgrupos - todos los de la orden de ocho. Como $S_4$ tiene ocho elementos de orden tres, la unión de la Sylow $2$-subgrupos tiene dieciséis elementos. Por lo tanto se debe intersectar no trivialmente. Sin embargo, sus centros deben intersectarse trivialmente. Por si un elemento $g$ fueron centralizadas por dos distintas Sylow $2$-subgrupos, su centralizador tendría que ser de todos $S_4$ ($D_4$ es un subgrupo maximal). Esto contradice el hecho de que $S_4$ sí ha trivial centro.