Cómo encontrar la adecuada equivalencia de la clase?

Question

Me gustaría encontrar el sistema de representantes y la equivalencia de la clase para $[(1,-1)]_{\equiv 1}$ $[(1,-1)]_{\equiv 2}$ dado:

$R_1=_{def.} (x_1,y_1)\equiv(x_2,y_2) \Leftrightarrow x_1+y_1=x_2+y_2$

$R_2=_{def.} (x_1,y_1)\equiv(x_2,y_2) \Leftrightarrow \min(x_1,y_1)=\min (x_2,y_2)$

Siempre tengo problemas para comprender y definir la equivalencia de clase y de las relaciones y co. Yo pensaba:

Para $R_1$:

Dado $[(1,-1)]_{\equiv 1}$ la equivalencia de clase debe ser un conjunto de tuplas tales que la suma de las dos es igual a cero, que es $\{(x,y)|x+y=0\}$ porque $\{(x,y)|1+(-1)=0\}$ que cumplan los criterios establecidos en la definición. Y para el sistema de representantes pensé $\{(x,1)|x \in \mathbb{N} \}$ (más o menos una suposición)

Para el $R_2$ pensé que: Dado $[(1,-1)]_{\equiv 2}$ la equivalencia de clase debe ser un conjunto de tuplas tales que el mínimo es igual a la smalles componente en la relación que se $\{(x,y)|\min(x,y)=-1\}$. Para el sistema de representantes del yo no tiene ninguna pista.

Gracias de antemano!

Answer 1

Se han definido dos relaciones en ${\mathbb R}^2$. Ambos se definen por una cierta función en ${\mathbb R}^2$ tomar valores iguales equivalentes puntos y diferentes valores en desigual puntos. Para $R_1$ esta función es $f_1(x,y):=x+y$, y para $R_2$ esta función es $f(x,y):=\min\{x,y\}$.

Una "representación canónica" del conjunto cociente de a $R_1$ sería el conjunto de valores de $f_1$, que por supuesto es ${\mathbb R}$. Pero usted desea un conjunto de representantes en ${\mathbb R}^2$. Propongo la línea $$\ell:=\{(t,t)\>|\>t\in{\mathbb R}\}\ .$$ This line contains exactly one point for every value of $f_1$. The set of all points in the equivalence class represented by $(t,t)$ is the line with slope $-1$ passing through the point $(t,t)$: $$[(t,t)]_{R_1}=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2\>|\>x+y=2t\}\ .$$

Una "representación canónica" del conjunto cociente de a $R_2$ sería el conjunto de valores de $f_2$, que a su vez es ${\mathbb R}$, y un conjunto de representantes de nuevo está dado por la línea de $\ell$: Esta línea contiene exactamente un punto para cada valor de $f_2$. Esta vez el conjunto de todos los puntos de la equivalencia de la clase representada por $(t,t)$ es la L-forma de la unión de una horizontal y una vertical de rayos: $$[(t,t)]_{R_2}=\{(x,t)\>|\>x\geq t\}\cup\{(t,y)\>|\>y\geq t\}\ .$$

Answer 2

Para la primera, usted está en el camino correcto. Como se indicó anteriormente, si usted tiene alguna $(x, y) \equiv_1 (1, -1)$$x + y = 1 + (-1) = 0$, y así usted está buscando para la colección de todos los $(x, y)$ tal que $x + y = 0$. Es decir, usted está buscando para los pares de $(x, y)$ tal que $y = -x$ o de: $$ [(1, -1)]_1 = \{(x, y) \in S \times S \mid x + y = 0\} = \{(x, -x) \mid x \in S\} $$ donde $S$ es $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{R}$ o cualquier otra cosa puede ser apropiado.

Answer 3

Para el primero tiene la específica de la clase de equivalencia $$ [(1,-1)]_1=\{(x,y)\mediados de y=-x\} $$ El general de representantes de todas las clases se $\{(x,y)\mid y=-x+k\}=[(0,k)]_1$ donde cada una selección de $k$ define una clase. Yo elaborada por los representantes de más abajo.

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Para el segundo tiene la específica de la clase de equivalencia $$ [(1,-1)]_2=(\{-1\}\veces[-1,\infty))\cup([-1,\infty)\times\{-1\}) $$ Los representantes de todas las clases se $[(k,k)]_2$ donde cada una selección de $k$ define una clase.

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Un poco más de elaboración:

Para $R_1$, una clase de equivalencia determinada por el valor de $x+y$. Deja este valor se denota $k$. A continuación, $x+y=k\iff y=-x+k$ es una recta con pendiente $-1$ e interceptar $k$.

Para $R_2$, y la equivalencia de la clase está determinada por cualquiera de las $k=x\leq y$ o $k=y\leq x$. Por lo tanto, $x=k$ $y\in[k,\infty)$ o $y=k$$x\in[k,\infty)$. Un representante natural es elegir a $x=y=k$, que luego da lugar a los representantes de la $[(k,k)]_2$

Answer 4

Todo lo que resuelve es correcto como lo que yo puedo ver. Es interesante considerar lo que las clases de equivalencia de hecho, en términos de la geometría, aunque. Observe que la primera relación ha de clases de equivalencia que son sólo líneas con pendiente -1. (Esta muy bien da que la elección de los representantes de sentido).

Vamos a pensar acerca de lo que las clases de equivalencia para la segunda relación. Desde el mínimo se fija ¿qué obtenemos? Así que esencialmente puede dividir en dos partes bien $x=\min(x,y)=m$ luego de obtener todos los puntos de $(m,y)$ (pero no olvides que $y$ es de alguna manera restringido (¿cómo?)). O ha $y=\min(x,y)=m$, en cuyo caso usted consigue todos los puntos de $(x,m)$, pero de nuevo, $x$ es restringido (¿cómo?). Si usted averiguar cómo estas restricciones y por lo tanto las clases de equivalencia aspecto que debería tener ningún problema en encontrar un conjunto de representantes.