Continuo ilimitado, pero integrable funciones

Question

Muchos de los difíciles ejercicios de preocupación la búsqueda de funciones que satisfacen las condiciones particulares. Por ejemplo, consideremos los espacios de $C_p( \mathbb R), 1 \leq p < \infty$, de funciones continuas en $\mathbb R$ tal que $\int_{\mathbb R} \lvert f(x) \rvert^p \mbox{d}x < \infty$. He encontrado los siguientes ejercicios más exigentes:

1. Encontrar una función $f\in C_1(\mathbb R)$ tal que $f$ es ilimitado;
2. Encontrar una función $f \in C_1(\mathbb R) \backslash C_2(\mathbb R)$.

así que uno puede deducir que $C_p \not\subset C_q$ si $p < q$.

Estoy bastante seguro de que una función definida a ser cero en todas partes, excepto para triangular los picos de altura $k$ y base $1/k^3$ centrada en los enteros positivos $k$ es una solución tanto para los ejercicios. (es una simple cuestión de dar a esta función de una forma explícita, pero creo que sería más claro.)

Es correcto?

¿Alguien puede dar otros ejemplos? (para el uno o el otro ejercicio, no es necesario una solución de los dos!)

Answer 1

Sí, eso es correcto. Usted puede cambiar el espaciado, el ancho, la altura y la forma de los picos, se puede añadir una integrable delimitada estrictamente positivo de la función, pero el principio es el mismo, deberá estrecho de los altos picos de marcha de descuento hasta el infinito.