Número de opciones de signos: $\pm 1 \pm 2 \pm ... \pm n=0$

Question

Aquí es un problema interesante, pensé.

De cuántas maneras podemos escoger el $n$ $\pm$ signos en la siguiente ecuación:

$\pm 1 \pm 2 \pm ... \pm n=0$

Se ha hecho evidente para mí que, de hecho, el número de soluciones es

$$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \prod_{k=1}^{n} 2\cos(kx) dx$$ Me parece que este resultado interesante y así:

1) ¿Cómo podemos demostrar que resultado?

2) ¿la integral tiene una forma cerrada? Sabemos que $f(n)=0$ $n$ $1,2$ mod $4$ por la paridad consideraciones, pero para general $n$ estaría sorprendido si una forma cerrada existe.

EDIT: Se ha hecho evidente que podemos comprobar la identidad más fácilmente que en la respuesta a continuación mediante el uso de funciones de generación. En particular, considerar que el producto de $z^k+z^{-k}$ sobre los valores apropiados de $k$, y la conexión de los números complejos en el círculo unidad. No quiero dar muchos más detalles, pero usted tendrá que sustituir a $z=e^{ix}$ creo. Te reto a llenar en los detalles (yo sé cómo hacerlo yo mismo ahora).

Answer 1

Vamos a us considerar el conjunto de todas las posibilidades $X_n$ por cada elección de los signos $a=(\epsilon_1,\cdots,\epsilon_n)\in X_n$ ( el correspondiente a $1\epsilon_1+ 2\epsilon_2 + \cdots +n\epsilon_n$) considere la función: $$f_a(x)=1\epsilon_1x+ 2\epsilon_2x+ \cdots +n\epsilon_nx$$

Ahora queremos demostrar el siguiente resultado:

$$\prod_{k=1}^{n} 2\cos(kx)=\sum_{a\in X_n} cos(f_a(x))\, \ \ \ \ (1)_n$$

Base a paso : n=1: $2cos(x)=cos(-x)+cos(x)$

Inducción pasos:supongamos $(1)_n$ es cierto que tenemos el siguiente resultado : $$X_{n+1}=\left\{(a,1)\big / a\in X_n\right\}\cup\left\{(a,-1)\big / a\in X_n\right\}$$

tenemos también: $f_{(a,1)}(x)=f(x)+(n+1)x$$f_{(a,1)}(x)=f(x)-(n+1)x$, Ahora podemos comenzar nuestro cálculo : $$\begin{align} \sum_{b\in X_{n+1}} cos(f_b(x))&&=&\sum_{a\in X_n} cos(f_{(a,-1)}(x))+\sum_{a\in X_n} cos(f_{(a,1)}(x))\\ &&=&\sum_{a\in X_n} cos(f_{a}(x)+(n+1)x)+\sum_{a\in X_n} cos(f_{a}(x)-(n-1)x)\\ &&=&\sum_{a\in X_n} cos(f_{a}(x)+(n+1)x)+cos(f_{a}(x)-(n-1)x)\\ &&=&\sum_{a\in X_n} 2cos(f_{a}(x))cos((n+1)x)\\ &&=&2cos((n+1)x)\sum_{a\in X_n} cos(f_{a}(x))\\ &&=&\prod_{k=1}^{n+1} 2\cos(kx) \end{align}$$

finalmente, $(1)_{n+1}$ es cierto.

Ahora, antes de iniciar otra cálculo, vamos a us volver a formalizar lo que tenemos que demostrar exactamente,uno puede ver que ,en palabras simples, queremos demostrar:

$$\#\left\{a\in X_n/ f_a=0\right\}=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \prod_{k=1}^{n} 2\cos(kx)dx$$

con $\#$ es el operador para el cardenal.pero esto es realmente fácil, porque

$$\begin{align} \int_0^{2\pi}f_a(x)dx=\int_0^{2\pi}1dx=2\pi &\text{ if } f_a=0\\ \int_0^{2\pi}f_a(x)dx=\int_0^{2\pi}cos(mx)dx=0 &\text{ if } f_a(x)=mx \text{ where } m\neq0 \end{align}$$

y el uso de $(1)_n$ tenemos : $$\begin{align}\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \prod_{k=1}^{n} 2\cos(kx)&&=&\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\sum_{a\in X_n} cos(f_a(x))dx\\ &&=&\sum_{a\in X_n} \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} cos(f_a(x))\\ &&=&\sum_{a\in X_n,f_a=0} 1\\ &&=&\#\left\{a\in X_n/ f_a=0\right\} \end{align}$$

Y aquí la prueba de lo que le da su fórmula termina.

Para la segunda pregunta, no sé si hay una forma cerrada para esta integral. como señala Hizo este integeral fue estudiado por D. Blair Sullivan por otras razones en su papel: En una Conjetura de Andrica y Tomescu y como resultado de ello, podemos señalar que el número de posibles formas de elección de los signos para obtener $0$ al $n \equiv 0 \text{ or } 3 \mod 4$ es equivalente a: $$\frac{2^{n+1}}{n^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{6}{\pi}}$$