Una racional "de la quinta raíz" de la escalares matriz $2I$

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema de un pasado en el examen.

Encontrar una condición necesaria y suficiente para que exista una matriz cuadrada $A$ orden $n$ cuyas entradas son todas racional, de tal manera que $A^5 = 2I_n$ donde $I_n$ representa la matriz identidad de orden $n$.

Por un argumento usando determinantes, uno fácilmente se ve que $n\in 5\mathbb Z$ es una condición necesaria. Por otra parte, si asumimos un $A =: A_5$ existe $n=5$, para general $n = 5k$, $A = \bigoplus^kA_5$ es lo que queremos.

Por lo tanto el problema se reduce a si existe un $5\times5$ racional de la matriz $A$ tal que $A^5 = 2I_5$. Lo que me gustaría preguntar es si esa $A$ existe, y cómo puede uno encontrar $A$ a mano de la manera más eficiente. Yo estaría muy agradecido por su ayuda.

Answer 1

Sugerencia: multiplicación por $2^{1/5}$ es lineal en el mapa sobre la dimensión-$5$ espacio vectorial ${\Bbb Q}[2^{1/5}]$.

Answer 2

Quieres una matriz de $A$ que satisface la ecuación polinómica $A^5-2A^0=0$. Una manera fácil de obtener esto es tomar el compañero de la matriz de ese polinomio $P=X^5-2$; esto da el ejemplo de user7530 (y el ejemplo por anon también da a esta matriz en la base más evidente). El polinomio$~P$ será la mínima satisfecho por$~A$ (que puede no ser sorprendente aquí porque $X^5-2$ es irreducible sobre$~\Bbb Q$, pero se mantiene independientemente de ese hecho), y también el polinomio característico de la matriz$~A$.

Answer 3

Yo plantearía el problema por el pensamiento acerca de cómo $A$ debe actuar sobre la base de vectores $e_i$. Ya que estamos aplicando $A$ cinco veces y hay cinco vectores de la base, nos gustaría $A$ a ser una permutación cíclica de los vectores de la base, además de un extra de escala por dos en algún momento: $$e_1 \mapsto e_2 \mapsto e_3 \mapsto e_4 \mapsto e_5 \mapsto 2e_1,$$ por ejemplo.

Esto nos da la matriz

$$\left[\begin{array}{ccccc}0 & 0& 0& 0 & 2\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{array}\right]$$ que tiene la propiedad que usted desea.