Correspondencias entre álgebras de Borel y espacios topológicos

Question

Aunque tangencialmente relacionado con otro post en MathOverflow ( aquí ), las preguntas que siguen son principalmente por curiosidad. Puede que sean preguntas muy conocidas con respuestas muy conocidas, pero...

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Supongamos que $\Sigma$ es una sigma-álgebra sobre un conjunto, $X$ . Para cualquier topología dada, $\tau$ , en $X$ denotar por $\mathfrak{B}_X(\tau)$ el álgebra de Borel sobre $X$ generado por $\tau$ .

Pregunta 1. ¿Existe una topología, $\tau$ , en $X$ tal que $\Sigma = \mathfrak{B}_X(\tau)$ ?

Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, tiene sentido pedir también lo siguiente:

Pregunta 2. Denota por ${\frak{T}}_X(\Sigma)$ la familia de todas las topologías $\tau$ en $X$ tal que $\Sigma = \mathfrak{B}_X(\tau)$ y que $\tau_X(\Sigma) := \bigcap_{\tau \in {\frak{T}}_X(\Sigma)} \tau$ . Es $\Sigma = \mathfrak{B}_X({\frak{T}}_X(\Sigma))$ ?

Actualizaciones. La P2 fue respondida negativamente por Mike ( aquí ).

Answer 1

Esta es una gran pregunta. No estoy publicando una respuesta a la pregunta, sino una respuesta al comentario publicado por Mike sobre un contraejemplo propuesto, el elefante en la habitación.

Teorema. El elefante en la habitación no es un contraejemplo. Es decir, el $\sigma$ -de conjuntos medibles de Lebesgue es el álgebra de Borel de la topología que consiste en todos los conjuntos de la forma $O-N$ , donde $O$ es abierto en la topología habitual y $N$ tiene medida $0$ .

Prueba. Nótese que el conjunto vacío y el conjunto de $\mathbb{R}$ tienen la forma deseada. A continuación, observamos que los conjuntos de esa forma son cerrados bajo intersección finita, ya que $(O-N)\cap(U-M)=(O\cap U)-(N\cup M)$ . A continuación, afirmo que son cerradas bajo uniones contables. Esto se debe a que $\bigcup_i (O_i-N_i) = (\bigcup_i O_i)-N$ , donde $N$ es un determinado subconjunto de $\bigcup_iN_i$ , que sigue siendo la medida $0$ ya que se trata de una unión contable. A continuación, observe que es cerrado bajo uniones arbitrarias en el caso de que el conjunto abierto sea el mismo, $\bigcup_i (O-N_i)$ ya que esto es lo mismo que $O-(\bigcap_i N_i)$ que es $O$ menos un conjunto nulo más pequeño. Por último, dado que tenemos una base contable para la topología habitual, utilizando intervalos racionales, por ejemplo, ahora se deduce que mis conjuntos son cerrados bajo uniones arbitrarias, ya que para cualquier unión de tamaño, podemos reescribirla utilizando conjuntos abiertos básicos menos conjuntos nulos, y luego agrupar todos los términos que surgen para cada conjunto abierto básico como un solo término, reduciendo así toda la unión a una unión contable, que hemos argumentado que todavía tiene la forma deseada.

Así, los conjuntos de la forma $O-N$ forman efectivamente una topología, y esta topología está claramente contenida en el álgebra de Lebesgue. Además, el álgebra de Borel generada por mi colección de conjuntos incluye todos los conjuntos de medida cero, así como todos los conjuntos abiertos, por lo que es la misma que el álgebra de todos los conjuntos medibles de Lebesgue. QED

Answer 2

Creo que puedo responder a la segunda pregunta. Para cada punto $p \in \mathbb{R}$ , dejemos que $\tau_p$ sea la topología en $\mathbb{R}$ que consiste en $\varnothing$ junto con todos los barrios abiertos estándar de $p$ . A menos que me haya equivocado, la sigma-álgebra de Borel generada por $\tau_p$ es el estándar. Sin embargo, $\bigcap_{p \in \mathbb{R}} \tau_p$ es la topología indiscreta en $\mathbb{R}$ .

Answer 3

Para la Q1. ¿Qué tal esto? $X = \{0,1\}^A$ para incontables $A$ y $\Sigma$ es el producto $\sigma$ -Álgebra. Por lo tanto, cada elemento de $\Sigma$ depende sólo de un número contable de coordenadas.

Ahora sólo necesitamos una prueba de que ésta no puede ser el álgebra de Borel de ninguna topología.

Answer 4

EDIT: Lo mejor es ignorar este post sin sentido.

El espacio del producto mencionado en la respuesta de Gerald Edgar no proporciona un contraejemplo. El producto $\sigma$ -está determinada por un número contable de coordenadas, la topología del producto por un número finito de coordenadas. Un conjunto determinado por un número contable de coordenadas es una intersección contable de conjuntos determinados por un número finito de coordenadas.

Observación: Esta respuesta contenía una "prueba" defectuosa de que la respuesta a la primera pregunta es afirmativa. La he editado.