La periodicidad de Bott teorema de grupo unitario $U(n)$ dice que $$ \pi_{i-1}(U) \simeq \pi_{i+1}(U) $$ ¿Cómo puedo demostrar, utilizando este teorema, que $$ \Omega (U) \simeq BU \times \mathbb{Z} ?$$ ¿Qué es precisamente el bucle espacio de $\Omega(U)$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mi memoria de esto es que la K-teoría functor en la categoría de compactos de Hausdorff espacios está representado por $BU\times \mathbb{Z}$, $K(X)= [X,BU\times \mathbb{Z}]$ para todo compacto Hausdorff espacios de $X$. Si estamos tratando con la reducción de la K-teoría, entonces estamos viendo en el punto de base la preservación de homotopy clases de mapas: $\tilde{K}(X)=\langle X,BU\times \mathbb{Z} \rangle$.
El K-teórico de la forma de periodicidad de Bott es que $\tilde{K}(X)\cong \tilde{K}(\Sigma^2 X)$, es decir, $\langle X, BU\times \mathbb{Z} \rangle \cong \langle \Sigma^2 X, BU\times \mathbb{Z} \rangle$. El (reducido) suspensión/loopspace contigüidad implica que $\langle \Sigma^2 X, BU\times \mathbb{Z}\rangle \cong \langle X,\Omega^{2} (BU\times \mathbb{Z}) \rangle$. Por lo tanto, $\langle X, BU\times \mathbb{Z} \rangle \cong \langle X, \Omega^{2} (BU\times \mathbb{Z}) \rangle$ para todo compacto Hausdorff espacios de $X$. Yoneda del lema implica que $\Omega^{2} (BU\times \mathbb{Z})\cong BU\times \mathbb{Z}$ en el homotopy categoría de punta espacios topológicos, es decir, que $\Omega^{2} (BU\times \mathbb{Z})$ es homotopy equivalente a $BU\times \mathbb{Z}$.
Sin embargo, $\Omega (BU\times \mathbb{Z})\cong U$; de hecho, es básico que tomar el bucle espacios de la clasificación de espacio topológico, grupo siempre le da la espalda al grupo topológico. Por lo tanto, $\Omega U\cong BU\times \mathbb{Z}$ (y viceversa!).
Espero que esto ayude!
