La Serie de Maclaurin de $\frac{1}{e^x -1}$

Question

Quiero encontrar la Serie de MacLaurin para la función de $f(x) = \frac{1}{e^x -1}$. Pero cuando voy a calcular la primera derivada de la $f(x)$: $$\frac{d}{dx}\frac{1}{e^x -1} = -\frac{e^x}{(e^x-1)^2}$$

El punto de $x=0$, me sale un indeterminado de expansión: $$f'(0)=-\frac{e^0} {e^0-1)^2}$$

Entonces, ¿cómo puedo calcular la serie para esta función $f(x)$?

Answer 1

La Serie no tiene una MacLaurin de expansión en $x=0$, desde su indefinido en este momento, pero puedes encontrar una Laurent de expansión para la siguiente manera. Tenga en cuenta que $$\frac{e^x-1}x=\sum_{n=0}^\infty\frac1{(n+1)!}x^n$$ Por el Poder de la Serie de División de Teorema, el cociente $\frac1{\frac{e^x-1}x}=\frac x{e^x-1}$ también tiene un poder de expansión de la serie, cerca de $x=0$. Se acostumbra a denotar sus coeficientes por $\frac{B_n}{n!}$, en cuyo caso podemos escribir $$\frac x{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n$$ Por lo tanto, $$\frac 1{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^{n-1},x\neq0$$ Los números de $B_n$ son llamados los números de Bernoulli. También consulte aquí para calcular estos números.

Answer 2

$f$ no está definido aún en $x = 0$. Observe que $e^0 = 1$, por lo tanto $\frac 1{e^0 - 1}$ no está definido, al menos no por la expresión. Tenga en cuenta que $$\lim_{x \to 0^+} e^x - 1 = 0^+ \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} \frac 1{e^x - 1} = +\infty, \quad \lim_{x \to 0^-} e^x - 1 = 0^- \Rightarrow \lim_{x \to 0^-} \frac 1{e^x - 1} = -\infty,$$ por lo $f$ no es continua en a $0$ en cualquier forma posible. Su derivada no existe, por lo tanto una de MacLaurin de expansión está fuera de la cuestión.

Que más o menos explica por qué no pudo calcular : es porque ... no se puede --.

Espero que ayude,

Answer 3

Técnicamente, la expansión de la serie acerca de la $x = 0$ $f(x) = (e^x - 1)^{-1}$ no es una serie de Maclaurin, porque la función no está definida en $x = 0$. Por lo tanto, una expansión de la serie de esta función debe tener un término de la forma $1/x$, y es una de la serie de Laurent.

Para encontrar la expansión de la serie, considere la siguiente definición: Vamos a $\{B_n\}_{n \ge 0}$ ser una secuencia de números tales que $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k = \begin{cases} B_n & n \ne 1, \\ B_1 + 1, & n = 1. \end{cases}$$ This sum is the binomial convolution of the sequences $\{B_n\}$ and $\{1\}$; i.e., if $h_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k$, then $$\sum_{n=0}^\infty h_n \frac{z^n}{n!} = \sum_{k=0}^\infty B_k \frac{z^k}{k!} \sum_{j=0}^\infty \frac{z^j}{j!} = e^z \sum_{k=0}^\infty B_k \frac{z^k}{k!} = e^z \hat B(z),$$ where $\sombrero de B(z) = \sum_{k=0}^\infty B_k \frac{z^k}{k!}$. But the right-hand side has exponential generating function $$B_0 \frac{z^0}{0!} + (B_1 + 1) \frac{z^1}{1!} + \sum_{n=2}^\infty B_n \frac{z^n}{n!} = z + \sum_{n=0}^\infty B_n \frac{z^n}{n!} = z + \hat B(z).$$ Therefore, $z + \hat B(z) = e^z \hat B(z)$, and $$\hat B(z) = \frac{z}{e^z-1}.$$ Dividing both sides by $z$ gives the desired series expansion. Explicitly, we have $$f(x) = \frac{1}{x}-\frac{1}{2}+\frac{x}{12}-\frac{x^3}{720}+\frac{x^5}{30240}-\frac{x^7}{1209600}+\frac{x^9}{47900160}+O(x^{11}).$$