Estoy teniendo problemas con esta integral desde el 2012 MIT Integración de la Abeja

Question

$$\int\frac{dx}{(1+\sqrt{x})\sqrt{x-x^2}} $$

Podría alguien explicarme cómo integrar esta integral.

Gracias y saludos.

Answer 1

$\displaystyle{\int\frac{dx}{(1+\sqrt{x})\sqrt{x-x^2}}}$

Vamos a poner a $x=\sin^{2}t$, luego \begin{align*} \int\frac{dx}{(1+\sqrt{x})\sqrt{x-x^2}}&=\int{\frac{2\sin t\cos t dt}{(1+\sin t)\sqrt{\sin^2 t-\sin^4 t}}} \\ &=\int{\frac{2\sin t\cos t dt}{(1+\sin t)\sqrt{\sin^2 t(1-\sin^2 t)}}}\\ &=\int{\frac{2\sin t\cos t dt}{(1+\sin t)\sin t\cos t}}\\ &=\int{\frac{2dt}{1+\sin t}}\\ &=\int{\frac{2(1-\sin t)dt}{\cos^2 t}}=2\int{\sec^2 tdt}-2\int{\sec t\tan tdt}\\ &=2\tan t - 2\sec t + C\\ &=\frac{2(\sin t - 1)}{\cos t} + C\\ &=\frac{2(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{1-x}}+C \end{align*}