Demostrar que el límite en el infinito es 0

Question

Supongamos $f$ es continua. Para todos los $x>0$, el límite de $f(nx)$ al $n$ va al infinito es $0$.

Haga el favor de probar que el límite de $f(x)$ $x$ va al infinito es $0$. (Estoy totalmente atascado en ello) creo que es suficiente para mostrar que f es uniformemente continua en a $[0, \infty)$.

Answer 1

Deje $\epsilon >0$. Deje $B_n$ el conjunto de los reales positivos números de $x$ tal que $\mid f(mx)\mid\leq\epsilon$ todos los $m\geq n$. La hipótesis dice que el $(0,\infty)=\cup B_n$. La categoría de Baire teorema implica que existe $n$ tal que $B_n$ contiene un intervalo, decir $(a,b)\subset B_n$. A continuación, $\mid f(x)\mid\leq \epsilon$ todos los $x\in \cup_{n\geq m} (na,nb)$. Es un ejercicio fácil para probar que $\cup_{n\geq m} (na,nb)$ contiene $(N,\infty)$ para algunos un gran $N$. A continuación, $\mid f(x)\mid\leq \epsilon$ todos los $x\geq N$.

Answer 2

Puesto que los números reales son cerrado bajo la multiplicación, es suficiente para demostrar que hay un $n$ que $x_1 = nx_2$, por lo $x_1$ puede ser representado como $nx_2$.