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Demostrar que el límite en el infinito es 0

Supongamos f es continua. Para todos los x>0, el límite de f(nx) al n va al infinito es 0.

Haga el favor de probar que el límite de f(x) x va al infinito es 0. (Estoy totalmente atascado en ello) creo que es suficiente para mostrar que f es uniformemente continua en a [0,).

8voto

kylesethgray Puntos 33

Deje ϵ>0. Deje Bn el conjunto de los reales positivos números de x tal que f(mx)∣≤ϵ todos los mn. La hipótesis dice que el (0,)=Bn. La categoría de Baire teorema implica que existe n tal que Bn contiene un intervalo, decir (a,b)Bn. A continuación, f(x)∣≤ϵ todos los xnm(na,nb). Es un ejercicio fácil para probar que nm(na,nb) contiene (N,) para algunos un gran N. A continuación, f(x)∣≤ϵ todos los xN.

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Jonathan Rich Puntos 432

Puesto que los números reales son cerrado bajo la multiplicación, es suficiente para demostrar que hay un n que x1=nx2, por lo x1 puede ser representado como nx2.

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