Dada una esfera sólida de radio R, quitar un cilindro cuyo eje central pasa por el centro de la esfera.

Question

Dada una esfera sólida de radio R, quitar un cilindro cuyo eje central pasa a través de el centro de la esfera. Vamos a h denota la altura de el resto de los sólidos. Calcular el el volumen de los sólidos restantes.

Answer 1

Me toma mucho tiempo para dibujar una imagen con el software, por lo que tendrá que hacer por mí. Sin su imagen, la solución más abajo no tiene sentido.
Por favor dibuje la mitad superior de la circunferencia con centro el origen y radio de $R$. Este círculo tiene la ecuación de $x^2+y^2=R^2$. Yo soy un poco alérgica a las fracciones, así que dejar temporalmente $h=2k$.

Lo que hace de nuestro círculo con un agujero en él? Dibuja la línea vertical que va directamente desde el punto de $A(-k,0)$ hasta que se cumpla el círculo en un punto que llamaremos $P$. Hacer $k$ bastante grande, decir que al menos $\frac{3}{4}R$. Que ayuda con la visualización posterior. También dibuja la línea vertical que va hacia arriba de $B(k,0)$ hasta que se cumpla el círculo en un punto que llamaremos $Q$. Unir los dos puntos de $P$ $Q$ por una línea horizontal.

Ahora viene la parte difícil! Deje $\mathcal{W}$ ser la región por encima de la línea de $PQ$ pero por debajo de la curva de $y=\sqrt{R^2-x^2}$. El agujero fue perforado horizontal, a lo largo de la $x$-eje. Todo lo que queda de la original de la esfera es el sólido que se obtiene por la rotación de la región de $\mathcal{W}$ sobre el $x$-eje. Este sólido se llama a veces un anillo de servilleta. Tenga en cuenta que este sólido tiene la altura $2k$. El radio del agujero es la longitud del segmento de línea $AP$. Así que este radio es $\sqrt{R^2-k^2}$. Es un poco gracioso para hablar acerca de la estatura, ya que esta "altura", y la perforación, es a lo largo de la $x$-dirección. Demasiado tarde para corregir.

En primer lugar, encontrar el volumen obtenido por la rotación de la región por debajo de $y=\sqrt{R^2-x^2}$, por encima de la $x$-eje, de$x=-k$$x=k$. Es una norma de un sólido de revolución cosas que el volumen es $$\int_{-k}^k \pi (R^2-x^2)\,dx.$$ Evaluar. Es más fácil integrar de $0$ $k$y doble. Tenemos $$2\pi R^2k -\frac{2\pi k^3}{3}.\qquad\qquad(\ast)$$

El agujero es simplemente un cilindro de altura $2k$, y el radio de $AP$,$\sqrt{R^2-k^2}$. Para que la integración sea innecesario. El volumen del agujero $$\pi(R^2-k^2)(2k).\qquad(\ast\ast) $$

Para encontrar el volumen de lo que queda de restar $(\ast\ast)$$(\ast)$. El $\pi R^2 k$ términos cancelar, y después de algunos álgebra llegamos $\dfrac{4}{3}\pi k^3$.
Recordemos que $k=\frac{h}{2}$, y el sustituto. Terminamos con $$\frac{\pi h^3}{6}.$$ Tenga en cuenta que la respuesta resultó ser independiente de la radio de $R$ de la esfera!

Answer 2

Hay un artículo de Wikipedia acerca de este problema: http://en.wikipedia.org/wiki/Napkin_ring_problem

Se resuelve ordenadamente a través de Cavalieri del principio.

(Ambos de estos artículos de Wikipedia fueron inicialmente creados por mí).

Answer 3

El "anillo de servilleta" es generado por rotatorio de la luz rosada de la región de $\color{pink}{Q}$, se muestra a continuación, acerca de la $y$-eje. Este volumen se puede encontrar usando la arandela de método. Un típico lavadora, generado por el rotativo el segmento de la línea de $\overline{\color{maroon}{p_yq_y}}$ sobre el $y$-eje, se muestra a continuación. Las coordenadas de los puntos extremos del segmento de línea que se puede encontrar utilizando el Teorema de Pitágoras y el hecho de que la esfera tiene radio de $R$ y el cilindro tiene la altura $h$ (de modo que la parte superior del cilindro cruza el $y$ eje $y=h/2$).

El volumen es $$ \int_{-h/2}^{h/2} \pi\Bigl[ \, \Bigl(\underbrace{\sqrt{R^2-y^2}}_{\text{radio exterior}\cima \text{de la lavadora} }\ \Bigr)^2-\Bigl(\underbrace{\sqrt{R^2-(h^2/4)}}_{\text{radio interior}\en la cima de \text{de la lavadora} } \ \ \Bigr)^2\, \Bigr ] \, dy= \int_{-h/2}^{h/2} \pi\bigl(\, {\estilo de texto{h^2\más de 4}}-y^2 \,\bigr) \, dy. $$

Tenga en cuenta que, como André Nicolas señala, el volumen es independiente de $R$.

El cálculo de la integral anterior, y tomando ventaja de la simetría, el volumen del sólido es: $$ \eqalign{ \int_{-h/2}^{h/2} \pi\bigl(\, {\estilo de texto{h^2\más de 4}}-y^2 \,\bigr) \, dy Y=2\int_{0}^{h/2} \pi\bigl(\, {\estilo de texto{h^2\más de 4}}-y^2 \,\bigr) \, dy\cr Y=2\pi\bigl[ {\estilo de texto{h^2\más de 4}}y{\estilo de texto{y^3\más de 3} } \bigr]\bigr|_0^{h/2}\cr Y= 2\pi\bigl[ {\estilo de texto{h^3\más de 8 }}-{\estilo de texto{h^3\más de 24} } \bigr]\cr y={\pi h^3\más de 6}. } $$

(Es probablemente la mejor manera de leer de André respuesta más detallada y simplemente consulte el diagrama de ser necesario. El etiquetado y la orientación del diagrama, sin embargo, es diferente de la de André respuesta (en particular la $x$ $y$ ejes son intercambiados). Su región $\cal W$ es la región de $\color{pink}{Q}$ por encima. )

Answer 4

Como el volumen no dependen de la radio, imaginar un cilindro con un radio insignificante. El volumen será el volumen de una esfera con un radio de h/2.