Itô o Stratonovich cálculo: cuál es el más relevante desde el punto de vista de la física?

Question

La ecuación de Langevin proporciona un ejemplo de un modelo físico que implica una ecuación diferencial con un término estocástico. Ahora, me pregunto, ¿cómo se debe tratar esto?

Cuando estudié los procesos estocásticos, he aprendido acerca de Itô y Stratonovich cálculo*. En aquel entonces, yo acabo de ver estas cosas como herramientas técnicas ideadas para definir la integral estocástica en un meningful manera. Sí, dependiendo de la que usted utiliza, usted podría obtener algunos resultados, o algunos otros, pero esto no me molesta, ya que me estaba mirando a estos objetos como meras estructuras matemáticas.

Pero, cuando se enfrentan a la ecuación de Langevin, me pregunto, ¿cómo puede uno hacer una interpretación significativa de ella? Ambos Itô y Stratonovich cálculo parecen como unas alternativas razonables, pero no encuentro ningún argumento de peso para preferir uno sobre el otro. El punto es, no debe ser una forma de decidir qué tipo de cálculo estocástico debemos usar! Dos definiciones distintas de la integral estocástica llevará a la contradictoria de la física de la ley, lo cual es molesto.

Creo que la ecuación de Fokker-Planck puede ser derivada a partir de la ecuación de Langevin, a través de la fórmula de Itô, pero yo no creo que haya alguna manera de conseguir esto utilizando Stratonovich del cálculo... Pero claro, esto sería una mala ad hoc argumento en favor de Itô del cálculo, por lo que este es claramente insatisfactoria.

suponiendo: ¿cómo habría que proceder para averiguar qué versión de la integral estocástica es más conveniente tratar con estocástica de las ecuaciones de la física? ¿Hay algún físico suposición que hace Itô de cálculo del más razonable?

• Nota: por supuesto, hay toda una paramétrica de la familia de posibles "interpolar" cálculo entre ambos Itô y Stratonovich, pero yo creo que estos dos son los únicos que son relevantes: uno de ellos da lugar a la martingala de la propiedad, y el otro conserva la clásica de la integración por partes de la regla

Answer 1

Ambos son relevantes, y "la idea de que la ecuación de Langevin universal es la ecuación diferencial estocástica para todo tipo de ruidos de sistemas es responsable de las dificultades mencionadas"* en tu post.

Tomar el SDE de Thomas respuesta, $$\frac{dy}{dt} = A(y) + C(y)L(t)$$ donde $L(t)$ es el ruido plazo. Supongamos que podemos convertir el ruido apagado, así que sólo se busca en el aislado, determinista, del sistema, y supongamos que tenemos: $$\frac{dy}{dt} = A(y)$$ Es, pues, evidente que el ruido término que en este caso debe ser interpretada como por Stratonovich, porque un Itô interpretación, podría cambiar la dinámica del sistema aislado.

Anteriormente habíamos asumido, como uno lo hace, ese $\langle L(t)L(t') \rangle = D \delta(t-t')$, pero rara vez son reales procesos físicos hecho de deltas de Dirac. Ahora si que no lo son, entonces por Wong-Zakai, Stratonovich es la única interpretación posible de aquí (es decir, si $L(t)$ es más general, y a medida que se aproxima un delta, Stratonovich es la integración de la forma que se plantea).

Ahora girando el ruido de encendido y apagado hemos llegado a la conclusión de que Stratonovich es la única manera de avanzar, pero muy al principio me dijo que ambas formulaciones son relevantes. De hecho, lo que si el ruido no se puede separar?

La distinción importante es hacer entre lo externo y lo interno de las fuentes de ruido. Hemos tratado con el exterior, pero ¿y si el ruido es interno, y es imposible de apagar, como dicen en las reacciones químicas? No es que tenemos un proceso determinista con un ruido término dio una palmada en la parte superior, tenemos un proceso estocástico y uno podría argumentar que los promedios se comportan de una manera determinista, pero no puede, a continuación, simplemente se acaba de agregar un ruido término nuevo en la parte superior, sin más justificación: "Por ruido interno que uno no puede simplemente postulado de una relación no lineal de la ecuación de Langevin o una ecuación de Fokker-Planck y, a continuación, la esperanza para determinar sus coeficientes de macroscópica de datos. El más fundamental de enfoque de [la expansión de la ecuación maestra] es indispensable".

* Las citas en mi respuesta ha sido tomado de el libro definitivo sobre la materia: Procesos Estocásticos en la Física y la Química de van Kampen, que yo sugiero que consulte para explicaciones más detalladas de los problemas y de cómo uno va sobre cómo tratar con ellos.

Answer 2

Ambos Ito y Stratonovich ecuaciones en derivadas parciales estocásticas puede ser utilizado para derivar una ecuación de Fokker-Planck. De hecho, por simple unidimensional de los procesos el proceso de Ito $$ dx = a\, dt + b\, dW(t) $$ es equivalente al proceso de Stratonovich $$ dx =\left (\,-\frac{1}{2}b\partial_x b\right) dt + b\, dW(t) $$ La respuesta es entonces que ambos son físicamente razonable, para un determinado FP ecuación que podemos encontrar tanto y de Ito y un Stratonovich proceso que tiene que darse cuenta de ello. Estos son físicamente equivalentes.

Habiendo dicho esto, los Físicos tienden a pensar de Stratonovich como la más razonable esquema, porque la FP ecuación es la que se obtiene tomando momentos y "ingenuo" integración por partes.