Prueba: Si $n \in \mathbb{N}$ no es la suma de dos cuadrados, a continuación, $n$ no es también la suma de dos racional plazas

Question

Tengo que probar lo siguiente:

Si $n \in \mathbb{N}$ no es representable por la suma de dos cuadrados, a continuación, $n$ tampoco es representable por la suma de dos racional plazas.

¿Cómo puedo empezar aquí? Cualquier idea será bien.

Answer 1

Vamos a mostrar que el entero positivo $n$ es representable como la suma de los cuadrados de dos integersif y sólo si $n$ es representable como la suma de los cuadrados de dos racionales. Una dirección es clara: Si $n$ es representable como la suma de los cuadrados de dos números enteros, a continuación, $n$ es representable como la suma de los cuadrados de dos racionales. La otra dirección es más difícil.

Es bien sabido que si $n$ es positivo, entonces la ecuación de $x^2+y^2=n$ ha entero soluciones si y sólo si cada divisor primo de $n$ de la forma $4k+3$ se produce a una potencia par en la factorización prima de $n$.

Si $n$ es representable como la suma de los cuadrados de dos racionales, luego por llevar los racionales a un común denominador $z$, podemos ver que existen enteros $u$, $v$, y $w$,$w\ne 0$, de tal manera que $$\left(\frac{x}{z}\right)^2+\left(\frac{y}{z}\right)^2=n.$$

Si $(u,v,w)$ es una solución de la ecuación de arriba, a continuación,$u^2+v^2=nw^2$, lo $nw^2$ es representable como la suma de los cuadrados de dos números enteros. De ello se desprende que cada divisor primo de $nw^2$ de la forma $4k+3$ se produce a una potencia par. Pero cada divisor primo de $n$ de que forma se produce a una potencia par, por lo $n$ es representable como la suma de los cuadrados de dos números enteros.