La teoría algebraica de números de temas para universitarios

Question

¿Cuáles son algunos de los interesantes temas o problemas en la teoría algebraica de números, que podría ser presentado a los estudiantes en un primer licenciatura curso de álgebra (que cubre algunas elementales de la teoría de números, grupos y anillos)?

Answer 1

Suena muy parecida a la de nuestro primer curso en estructuras algebraicas. Los ejemplos que podría o no podría encajar el proyecto de ley (sólo he probado un par de ellos, pero le da la oportunidad de hacerlo pronto):

1. Pell ecuaciones. Puede ser mientras buscaba las unidades del anillo de $\Bbb{Z}[\sqrt2]$? Comenzar por la observación de que $u=1+\sqrt2$ es una unidad, ya $(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)=-1$. Debido a que las unidades de un anillo de formar un grupo, sus poderes $$u^n=(1+\sqrt2)^n=a_n+b_n\sqrt2$$ will also be units. Because $\sqrt2\mapsto-\sqrt2$ extends to a ring automorphism, the inverse is $(-1)^n(a_n-b_n\sqrt2)$. This also yields a sequence of good rational approximations to $\sqrt2$, so one can build some purely computational exercises out of this as well (in my experience the weaker students appreciate those). The fact that the unit group is $C_\infty\times C_2$ debe esperar :-)
2. Los campos de tamaño de $p^2$ como cocientes de anillos de enteros de los campos de número. $\Bbb{Z}[i]/\langle p\rangle$ es un campo al $p=3$ (calcular los inversos), pero con $p=5$ no es. Por qué? Puede tratar de cocientes de anillos?
3. Si la cubierta de campos de fracciones, usted también puede hacer ejercicios básicos acerca de los anillos de rational $p$-ádico enteros. Interesante subrings de $\Bbb{Q}$?

Esto es un poco de un tramo - lo siento por eso.

Answer 2

Estoy leyendo este delicioso papel por Harald Helfgott de Crecimiento y de Generación en $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ donde explora los grafos de Cayley cuyos vértices son a $2\times 2$ invertible matrices con entradas en el finito fiele $\mathbb{F}_p$. Dos bordes están conectados si están unidos por elementos de un set de generación de energía.

$$ A = \left\{ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right) \right\}$$

Pide el diámetro de este gráfico - la longitud del camino más largo entre dos elementos. El resultado fue conocido mediante difícil métodos espectrales para la anterior generación del sistema y desconocido para la generación del sistema a continuación. Básicamente el cambio 1 a 3.

$$ A = \left\{ \left(\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right) \right\}$$

Esta sería una gran oportunidad para explorar la interacción entre los grupos y los generadores, los gráficos y los valores propios.

Los resultados completos de la de papel son, ciertamente, fuera del alcance de una intro clase de álgebra, sin embargo esto es para el mejor. El enunciado del problema debe ser suficiente; resultado parcial de plomo significativas de la exploración moderna de una investigación de tipo problema.

Answer 3

Me gustaría ver:

• Último Teorema de Fermat
• Residuos Cuadráticos
• Quasigroups

, todos los cuales han sido objeto de importantes transformaciones recientemente, y ofrecer alguna forma de 'cierre' (mi palabra - todos ellos tienen los resultados, no sólo conjeturas).