Producto de "Falso"-Galois Conjugados

Question

Mis disculpas si esta pregunta termina siendo un duplicado; hice mi mejor esfuerzo para buscar una respuesta, pero no tengo idea de qué llamar a esta cosas en las que estoy trabajando, así que realmente no podía encontrar mucho. Hay un lugar mucho viento, así que he hecho mi mejor esfuerzo para poner en saltos de línea entre las hipótesis.

Deje $L$ ser un campo normal de extensión de $\mathbb{Q}$ finito de grado, vamos a $\mathcal{O}_L$ ser su anillo de enteros, vamos a $G=\text{Aut}(L/\mathbb{Q})$, y deje $\lambda\in\mathbb{C}$ ser un trascendental número.

Para cada mapa de $g\in G$, extender ese mapa a un anillo automorphism $\hat{g}:L[\lambda]\rightarrow L[\lambda]$ al exigir $\hat{g}(\lambda)=\lambda$, y llama a la colección de tales extensiones $\hat{G}$.

Deje $p(\lambda)\in\mathcal{O}_L[\lambda]$, y definir $\displaystyle \hat{p}(\lambda)=\prod_{\hat{g}\in\hat{G}}\hat{g}(p(\lambda))$.

Es cierto que $\hat{p}(\lambda)\in\mathbb{Z}[\lambda]$?

Es muy fácil demostrar que el coeficiente inicial y el coeficiente constante de $\hat{p}(\lambda)$ son enteros, y creo que es creíble que todos los coeficientes son números enteros; el problema es que no veo una buena manera de demostrar que todos ellos son. Mi más reciente intento de mantenerse en funcionamiento en grandes combinatoria se mete, y me siento como debería ser una mancha de la prueba de ello en algún momento. ¿Alguien sabe si hay un nombre para esta construcción, y ¿alguien sabe cómo venir para arriba con una prueba interesante (o dios no lo quiera, la refutación) de la demanda?

Answer 1

La clave de la cosa a notar es que por su construcción, cada una de las $\hat g$ corrige $\mathbb Q[\lambda]$. Entonces, en vez de sólo la extensión de cada $g\in G$ a un mapa de $\hat {g}:L[\lambda]\to L[\lambda]$, parece lógico ampliar este mapa más a un campo automorphism $\tilde g:L(\lambda)\to L(\lambda)$ mediante el establecimiento $$\tilde g\left(\frac{1}{p(\lambda)}\right) = \frac{1}{\hat g(p(\lambda))}.$$

De esta manera $\tilde g$ se convierte en un campo de automorphism de $L(\lambda)/\mathbb Q(\lambda)$, por lo que podemos esperar para aplicar la teoría de Galois técnicas. Tenga en cuenta que $\tilde g$ $\hat g$ está de acuerdo en $L[\lambda]$, por lo que los resultados probados para $\tilde g$ lo harán para $\hat g$ cuando restringimos a $L[\lambda]$.

Dejando $\tilde G$ ser la colección de todas esas extensiones, podemos ver que, en realidad, $$\tilde G = \mathrm{Gal}(L(\lambda)/\mathbb Q(\lambda)).$$ En efecto, cada campo automorphism de $L(\lambda)/\mathbb Q(\lambda)$ debe arreglar $\lambda$, por lo que se determina completamente por su acción sobre el $L$.

Deje $p(\lambda)\in\mathcal O_L[\lambda]$ y definen $$\tilde p(\lambda) =\hat p(\lambda) = \prod_{\tilde g\in\tilde G}\tilde g(p(\lambda)).$$

A continuación, para cada $\tilde h\in\tilde G$, vemos que $$\tilde h(\tilde p(\lambda))=\tilde p(\lambda),$$so $\tilde p(\lambda)\in \mathbb Q(\lambda)$. Since $\tilde p(\lambda) \in \mathcal O_L[\lambda]$, el resultado se sigue ahora.