infinito suma de los números de

Question

Si tenemos una serie de números $$1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + (10^n)^5.$$ Final sum of the series is approximately equal $16666\ldots$ .

Si hay más y más números en la serie es el resultado de más y más a $16666\ldots$ .

Por ejemplo, si el último número $1000$ o $10000$ o $100000$ y así sucesivamente, la suma final está más cerca de a $16666\ldots$ . Si es cierto (por supuesto), podemos concluir que el $$1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots = \frac 1 6$$

Saludos.

Answer 1

La proyección ortogonal de esta pregunta en el subespacio de sensata pregunta es contestada por @sos440 del comentario.

Reclamo: $$\frac{1^m + 2^m + \cdots + n^m}{n^{m+1}}\to \frac{1}{m+1}.$$

Prueba: Nota: $\text{LHS} = \frac{1}{n}((1/n)^m + (2/n)^m + \cdots + ((n-1)/n)^m + 1^m)$ es una suma de Riemann aproximación de la integral de la $\int_0^1 x^m\,dx = \frac{1}{m+1}$.

Así, podemos decir que $$1^5 + 2^5 + \cdots + (10^n)^5 \sim \frac{1}{6} (10^n)^6,$$which will look like $1666\ldots$ in base $10$, como usted bien observar.