La prueba de la raíz cuadrada de la desigualdad

Question

Me topé con la siguiente desigualdad: Para todos los $n\geq 1,$ $$2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}<\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}.$$ Sin embargo no puedo encontrar la prueba de este lugar. Alguna idea de cómo proceder?

Edit: he publicado una pregunta de seguimiento acerca de las generalizaciones de esta desigualdad aquí: La raíz cuadrada de la desigualdad revisited

Answer 1

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ es una función decreciente en $\mathbb{R}^+$, por lo tanto: $$ 2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}= \int_{n}^{n+1}\frac{dx}{\sqrt{x}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}} $$ así como $$ 2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}=\int_{n-1}^{n}\frac{dx}{\sqrt{x}}\geq \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

Answer 2

$$2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=$$ $$=\frac2{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n}} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2\sqrt n<\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\Leftrightarrow\sqrt n< \sqrt{n+1}$$

Answer 3

\begin{align*} 2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n} &= 2\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \\ &= 2\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \\ &< \frac{2}{2\sqrt{n}} \text{ since } \sqrt{n+1} > \sqrt{n}\\ &=\frac{1}{\sqrt{n}} \end{align*} Otra prueba Similar para la otra desigualdad.

Answer 4

Deje $f(x)=2\sqrt{x}$. Utilizando el valor medio teorema obtenemos $$\frac{f(n+1)-f(n)}{(n+1)-n} = f'(c)$$ para algunos $c \in (n, n+1)$. Equivalentemente, $$2\sqrt{n+1} - 2\sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt c}.$$ Desde $c>n$, $$\frac{1}{\sqrt c} < \frac{1}{\sqrt{n}},$$ por lo tanto $$2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n} < \frac 1{\sqrt n}.$$

A la derecha de la desigualdad puede ser probado de una manera similar.

Answer 5

Como $\sqrt n>0,$

$$2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}<\frac{1}{\sqrt{n}}\iff2\sqrt{n(n+1)}-2n<1$$ $$\iff2\sqrt{n(n+1)}<2n+1$$

El cuadrado obtenemos $$4(n^2+n)<(2n+1)^2=4n^2+4n+1\iff 1>0$ $ , lo cual es cierto.

Se puede seguir el mismo método para el otro la desigualdad?