Pregunta sobre el orden de los elementos de un subgrupo de

Question

Dado un subgrupo $H \subset \mathbb{Z}^4$, que se define como el 4-tuplas $(a,b,c,d)$ que satisfacer $$ 8| (a-c); a+2b+3c+4d=0$$

La pregunta es: dar todas las órdenes de los elementos de $\mathbb{Z}^4 /H$.

No tengo ninguna idea de cómo empezar con este problema. ¿Alguien puede darle algunos consejos, estrategias, etc para solucionar esto?

gracias

Answer 1

Puede ser mejor para interpretar el grupo $H$ como el núcleo de la homomorphism: $$\phi:\oplus_{i=1}^4\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}_8\oplus\mathbb{Z}$$ que envía a$(a,b,c,d)$$((a-c)\pmod8,a+2b+3c+4d)$. Compruebe que el núcleo de $\phi$$H$.

Creo que sería fácil determinar $\text{Im}(\phi)$. El uso de la primera isomorhpism teorema obtenemos: $$\oplus_{i=1}^4\mathbb{Z}/H=\oplus_{i=1}^4\mathbb{Z}/\ker(\phi)\cong \text{Im}(\phi)$$

EDIT: Ya que sólo necesita para determinar los posibles órdenes de $\oplus_{i=1}^4\mathbb{Z}/H$, podemos hacer lo siguiente:

Desde $\oplus_{i=1}^4\mathbb{Z}/H\cong \text{Im}(\phi)$, por lo tanto, sólo necesitamos determinar los posibles órdenes de $Im\phi$. $Im\phi$ es un subgrupo de $\mathbb{Z}_8\oplus\mathbb{Z}$. Por lo tanto el conjunto de posibles órdenes de $Im \phi$ es un subconjunto del conjunto de posibles órdenes de $\mathbb{Z}_8\oplus\mathbb{Z}$$\{1,2,4,8,\infty\}$.

$\phi(0,0,0,0)$ es un elemento de orden $1$ $\text{Im}\,\phi$

$\phi(4,-2,0,0)$ es un elemento de orden $2$ $\text{Im}\,\phi$

$\phi(2,-1,0,0)$ es un elemento de orden $4$ $\text{Im}\,\phi$

$\phi(0,1,0,0)$ es un elemento de orden $\infty$ $\text{Im}\,\phi$

Es fácil demostrar que no hay ningún elemento de orden $8$ $\text{Im}\,\phi$

Answer 2

Como Amir ha dicho anteriormente, considere la posibilidad de la homomorphism $\phi:\oplus_{i=1}^{4}\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}_{8}\oplus\mathbb{Z}$. Se puede comprobar que, como Amir señaló $\operatorname{im}(\phi)\cong (\oplus_{i=1}^{4}\mathbb{Z})/H$, entonces, ¿qué es $\operatorname{im}(\phi)$? Si usted desea, usted podría trabajar en esto, pero sólo se les pregunta por las posibles órdenes de elementos. En $w=(x,y)\in,\mathbb{Z}_{8}\oplus\mathbb{Z}$, entonces si $y\ne 0$, $x$ tiene orden infinito. Claramente, el $w=\phi(0,0,0,1)$, obtenemos $w=(0,4)$ \operatorname{im}(\phi)$ tiene elementos de orden infinito.

Ahora a considerar los elementos de orden finito. Estos deben surgir a partir de elementos de la forma $w=(x,0)\in\mathbb{Z}_{8}\oplus\mathbb{Z}$. Ahora los órdenes posibles de elementos de $\mathbb{Z}_{8}$ $1,2,4$ $8$ podemos encontrar elementos de dichas órdenes en $\operatorname{im}(\phi)$?

Orden de 1: Como $\operatorname{im}(\phi)$ es un subgrupo, que contiene la identidad de un elemento de orden $1$.

Orden De 8: Considere El $(a,b,c,d)\in \oplus_{i=1}^{4}\mathbb{Z}$. Queremos $\phi(a,b,c,d)$ a tener un orden $8$, lo $a-c$ debe ser coprime a $8$ (es decir, impar) y $a+2b+3c+4d=0$. Qué tal un elemento existe? Así como $a-c$ es impar, entonces $a$ $c$ tienen distinta paridad, por lo que asumir que $a$ es impar y $c$ es incluso. Pero, a continuación, $a+2b+3c+4d$ off y por lo tanto no es igual a $0$. Por lo tanto no hay elementos de orden $8$ existen, y en particular.

Orden de 4: Como el anterior, teniendo en cuenta $\phi(a,b,c,d)$ debemos tener $a-c\equiv 2\text{ or }6\pmod{8}$$a+2b+3c+4d=0$. Si $a=2$$c=0$,$a-c\equiv 2\pmod{8}$. Por otra parte, si tomamos $b=-1$ $d=0$ tenemos $w=\phi(2,-1,0,0)=(2,0)$, y por lo $w$ es un elemento de orden $4$.

Orden de 2: Tome $2w=(4,0)=\phi(4,-2,0,0)$, y, a continuación, $2w$ orden $2$.

Por lo tanto los órdenes posibles de elementos de $(\oplus_{i=1}^{4}\mathbb{Z})/H$$1,2,4$$\infty$.

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Edit: leí mal la pregunta inicialmente, así que pensé que me estaba pidiendo órdenes posibles de $H$ e no $\mathbb{Z}^{4}/H$. Aquí hay una respuesta para la búsqueda de los pedidos de elementos de $H$.

Para empezar, ¿cuáles son los posibles poderes de los elementos del producto directo $\oplus_{i=1}^{4}\mathbb{Z}$. Claramente el único elemento finito de orden es el elemento de identidad de la orden de $1$ (ya que este es el caso en $\mathbb{Z}$). Así como $H$ es un subgrupo de $\oplus_{i=1}^{4}\mathbb{Z}$, la única posible finito de orden de los elementos de $H$$1$. Puede que este fin de ser alcanzado?

Bien claramente, el único elemento de $\oplus_{i=1}^{4}\mathbb{Z}$ orden $1$ es el elemento de identidad, es decir,$(0,0,0,0)$, y es fácil ver que este será el contenido en $H$.

Ahora vamos a comprobar si hay elementos de orden infinito en $H$. Supongamos $x=(a,b,c,d)$ es un elemento. Bien por la sencillez (es decir, para deshacerse de su primera condición), acaba de tomar $a=c=0$, de modo que $8\vert a-c=0$. A continuación, la otra condición da $0=a+2b+3c+4d=2b+4d$, lo que significa que $b+2d=0$. Por lo tanto, teniendo $d=1$ $b=-2$ tenemos que $x=(0,-2,0,1)\in H$, e $x$ tiene orden infinito.

Llegamos a la conclusión de que los órdenes posibles de elementos de $H$$1$$\infty$.