Al menos el 99% de estos números son compuestos

Question

Este es un concurso de preparación:

Demostrar que al menos el 99% de estos números

$$10^1+1,10^2+1, 10^3+1, ..., 10^{2010}+1$$

son compuestos.

El problema es que a partir de 2010, obviamente. Tuve la tentación de sustituir 2010 con el año 2015, pero tenía miedo de que la declaración de la realidad no puede ser cierto para el año 2015.

Traté de congruencias, pero no funciona como yo esperaba.

Answer 1

Supongamos que $n$ tiene un divisor primo impar mayor que $1$. A continuación, $10^n+1$ es compuesto. Así que la única candidatos para la primalidad son los números de $10^{(2^k)}+1$.

Los poderes de la $2$ menos de $2010$$2^0$$2^{10}$, de un total de $11$. Por supuesto, para algunos de estos $10^n+1$ puede no ser la mejor. Pero para asegurarse de que la proporción de números primos es $\frac{11}{2010}$ o menos, muy por debajo de $1\%$.

Nota: Hemos utilizado el hecho de que si $d$ es impar, a continuación, $x+1$ divide $x^d+1$. Si $n=dq$, $d$ impar, se deduce que el $10^q+1$ divide $10^n+1$. Si $d\gt 1$, $10^q+1$ es una adecuada divisor de $10^n+1$.

Answer 2

Supongamos que el enunciado es verdadero va hasta el año 2010. Va hasta el 2015 no incluso añadir un punto de porcentaje: $10^{2011} + 1, \ldots, 10^{2015} + 5$ podría ser el primer pero cuando ronda a un punto porcentual, usted todavía obtener un 99%.

Pero ese no es el caso, los cinco números compuestos. Como Albert ya se ha mencionado, si $n$ es impar, entonces $10^n + 1$ es divisible por 11. Así que tenemos algo así como el 50% de estos números garantizado compuesta, excepto, por supuesto, 11 que es trivialmente divisible por sí mismo.

Si $n \equiv 2 \pmod 4$, $10^n + 1$ es un múltiplo de 101. Así que eso es de otro 25% garantizado compuesta, aparte de 101.

Ahora, 1001 no nos da mucho kilometraje, debido a que estos exponentes impares son ya tomado cuidado de. Pero con el 75% del potencial de los números primos derribado como compuestos, usted está bien en su camino para alcanzar el 99%.