ecuación implícita para el "doble toro" (superficie orientable de género 2)

Question

El toro incrustado en $\mathbb R^3$ puede ser descrito por el conjunto de puntos en $(x,y,z)\in \mathbb R^3$ satisfaciendo $T(x,y,z)=0$ , donde $T$ es el polinomio $T(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2-4R^2(x^2+y^2)$ para $R>r>0$ .

¿Es posible encontrar un polinomio que describa la suma de dos (o $n$ ) ¿Tori? Es decir, ¿existe un polinomio (o incluso una función suave) $P$ tal que el doble toro incrustado puede describirse como el conjunto donde $P(x,y,z)=0$ ?

Answer 1

He aquí una receta general para un polinomio cuyo conjunto de niveles es un $n$ -toro en $\mathbb R^3$ .

Primero, toma el polinomio $$\begin{align}f(x) &= \prod_{i=1}^n (x-(i-1))(x-i) \\ &= x(x-1)^2(x-2)^2\cdots(x-(n-1))^2(x-n)\end{align}$$ que es positivo como $x\to\pm\infty$ , cruza el cero en $x=0$ y $x=n$ y toca el cero por debajo en $i = 1, 2, \ldots, n-1$ . Ejemplos: $n=1$ , $n=2$ , $n=5$ .

Entonces dejemos que $$g(x,y) = f(x) + y^2,$$ para que el conjunto de puntos $g(x,y)=0$ formularios $n$ bucles conectados ( $n=1$ , $n=2$ , $n=5$ ). Por último, defina $$h(x,y,z) = g(x,y)^2 + z^2 - r^2,$$ que "infla" los bucles en tres dimensiones. Para un tamaño lo suficientemente pequeño $r$ el conjunto de niveles $h(x,y,z) = 0$ es un $n$ -toro. Por ejemplo, aquí está $n=2$ y $r=0.1$ para el que el conjunto de niveles cero de $h(x,y,z) = \left(x(x-1)^2(x-2)+y^2\right)^2+z^2 - 0.01$ está trazado:

Answer 2

He aquí otra forma de obtener un "doble toro": se puede partir de la ecuación implícita de un lemniscado que es una curva con forma de ocho. Por ejemplo, se puede optar por utilizar el lemniscata de Gerono :

$$x^4-a^2(x^2-y^2)=0$$

o el lemniscata hiperbólica que es el curva inversa de la hipérbola:

$$(x^2+y^2)^2-a^2x^2+b^2y^2=0$$

(la famosa lemniscata de Bernoulli es un caso especial de esto, correspondiente a la inversión de una hipérbola equilátera).

Ahora, para generar un doble toro a partir de estos lemniscados, si se tiene la ecuación cartesiana implícita en la forma $F(x,y)=0$ se puede realizar el paso de "inflación" del enfoque de Rahul; es decir, formar la ecuación

$$F(x,y)^2+z^2=\varepsilon$$

donde $\varepsilon$ es un número minúsculo.

Por ejemplo, aquí hay un doble toro formado a partir del lemnisco de Bernoulli: $$((x^2+y^2)^2-x^2+y^2)^2+z^2=\frac1{100}$$

Para las superficies de género superior, se podría utilizar espirales sinusoidales como la curva base.

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Otra posibilidad de generar superficies de género $n\geq 2$ es considerar la superficie $F_1(x,y,z)F_2(x,y,z)\dots F_n(x,y,z)=0$ donde el $F_i$ son las ecuaciones cartesianas implícitas para el toro habitual, convenientemente trasladadas y/o rotadas. Entonces se puede sustituir $0$ con un pequeño número $\varepsilon$ .