$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$ $a^2+b^2+c^2+d^2=1$

Question

Deje $a,b,c,d$ ser números reales tales que a $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Demostrar que $$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd.$$

Pensé acerca de la sustitución de $a=\sqrt{w},b=\sqrt{x}$, etc. (suponiendo primero que $a,b,c,d$ son positivas), y luego busca en la convexidad de la función de $f(r)=(1-\sqrt{r})/\sqrt{r}$ y la aplicación de algunas de Jensen-tipo de desigualdad. Pero tal desigualdad se aplica a la suma de funciones, no el producto.

Answer 1

Observar que mientras $a,b,c,d \ge 0$: $$\begin{align}(1-a)(1-b) - cd &\ge 1 - a - b + ab - \left(\frac{c^2+d^2}{2}\right) \\ &= 1 - a - b + ab - \left(\frac{1-a^2-b^2}{2}\right) \\ &= \frac{1}{2}(1-a-b)^2 \ge 0\end{align}$$

Del mismo modo, $$(1-c)(1-d) -ab \ge \frac{1}{2}(1-c-d)^2\ge 0$$

Por lo tanto, $$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) \ge abcd$$