¿Cuáles son los subgrupos de $\operatorname{Alt}(2p)$ que contiene el normalizador de Sylow $p$-subgrupo?

Question

Es fácil de describir?

• $G = \operatorname{Alt}(2p)$,
• $P$ un Sylow $p$-subgrupo generado por a$(1,2,...,p)$$(p+1,p+2,...,2p)$,
• $N = N_G(P)$,
• $M = \{g \in \operatorname{Alt}(2p) : g \text{ takes every orbit of }P\;\text{ to some orbit of }P\;\}$

Es cierto que el único subgrupo estrictamente entre el$N$$G$$M$, a menos que $p=2$ o $p=3$ (donde $N=M$ es ya máxima)? Si no, entonces ¿qué sucede?

Creo que está claro que $N ≤ M < G$. Yo estoy bien con $M$ siendo máxima en $G$. Yo realmente no entiendo por qué $N$ sería máxima en $M$, o por qué $N$ está contenida en un único subgrupo maximal.

Si el grupo simétrico es más fácil el trabajo, y la respuesta está cerca, estoy bien con eso.

Estoy tratando de entender Bender tipo de ideas en este sencillo pero ligeramente exótico caso, así que prefiero primaria de pruebas, pero cualquier exposé de Bender ideas es bienvenida (pero no necesario) de adición.

Answer 1

Creo que el maximality de $N$ $M$ se deduce del hecho de que un bruscamente 2-transitiva Frobenius grupo $F_p$ orden $p(p-1)$ es máxima en $S_p$, la cual puede ser verificada con la lista de todos los 2-transitiva de permutación de grupos.

Deje $N_0$ ser el subgrupo de índice 2 en $N$ que corrige ambas órbitas de $P$. Luego de la proyección de $N_0$ en cada una de estas órbitas es igual a $F_p$. Para cualquier grupo $L$ $N < L \le M$ , la proyección de $L_0$ en estas órbitas sería mayor de $F_p$ y, por tanto, sería igual a $S_p$. Pero ahora, desde la sencillez de $A_p$, podemos deducir que $L_0=M_0 = (A_p \times A_p).2$, lo $L=M$.

Answer 2

La prueba parece bastante largo, y requiere la clasificación de los finitos simples grupos. Quizás el más sorprendente para mí es que la cuestión similar en primer grado $p$ (en lugar del grado $2p$ frecuentes) requiere que la clasificación para manejar general de los números primos, y requiere un poco de modular teoría de la representación para manejar los números primos de formas especiales. En cualquier caso, aquí está lo que he tenido tiempo para escribir.

Itô de la conjetura y Wielandt del problema

Es el normalizador $F$ de Sylow $p$-subgrupo del grupo simétrico de p puntos de máxima?

Esto parece ser cierto. Los primeros resultados a lo largo de estas líneas se Galois investigaciones en los grupos de primer grado, seguido por Mathieu del descubrimiento de su esporádicos grupos (especialmente los de primer grado). Burnside utilizado carácter ordinario teoría para demostrar que transitivo grupo de primer grado fue un subgrupo de $F$ o insoluble. Brauer (1943) aplicó sus ideas de carácter modular de la teoría a dar algunos límites. Itô (1958+) comenzó a recibir información detallada sobre los grupos de primer grado cuando los números primos se de forma especial. Wielandt 1964 libro de texto (Parte V, especialmente §31) se reunieron Burnside, Schur, y en cierta medida Brauer del trabajo y se entregó a la representación teórica de las pruebas de varios de estos resultados. Neumann (1972) utiliza modular de la teoría de la representación para mostrar que cualquier overgroup es triplemente transitivos (ver Huppert–Blackburn XII.10.9). Chillag (1977) mostró que si la overgroup invertido un elemento de orden $p−1$ en el normalizador, entonces era todo el grupo simétrico. Finalmente, después de la CFSG fue declarado completo, listas de $2$-transitiva grupos se hicieron disponibles, una publicación de la lista que se presenta claramente en Kantor (1985).

Lista de $2$-transitiva de permutación de grupos

Estos grupos se dividen en $2$-ordena por Galois: aquellas con primaria abelian zócalo y aquellos con simple zócalo.

Con simple zócalo $N$ casi son simples y tienen un grado $v$ como en la siguiente lista:

• $v ≥ 5$, $N = \operatorname{Alt}(v)$
• $v = (q^d−1)/(q−1)$, $N = \operatorname{PSL}(d,q)$, $q$ una fuente primaria de energía, $(d,q) ≠ (2,2), (2,3)$, y dos representaciones de si $d ≥ 3$
• $v = q^3+1$, $N = \operatorname{PSU}(3,q)$, $q$ una fuente primaria de energía, $q > 2$
• $v = q^2+1$, $N = \operatorname{Sz}(q)$, $q=2^{2e+1}$, $e$ un entero positivo
• $v = q^3+1$, $N = \operatorname{Ree}(q)$, $q=3^{2e+1}$, $e$ un entero positivo
• $v = 2^{2n−1} ± 2^{n−1}$, $N = \operatorname{Sp}(2n,2)$, $n ≥ 3$
• $v = 11$, $N = \operatorname{PSL}(2,11)$, dos representaciones
• $v \in \{ 11, 12, 22, 23, 24 \}$, $N = \operatorname{Mathieu}(v)$, y dos representaciones para $v=12$
• $v = 12$, $N = \operatorname{Mathieu}(11)$
• $v = 15$, $N = \operatorname{Alt}(7)$, dos representaciones
• $v = 176$, $N = \operatorname{HS}$, dos representaciones
• $v = 276$, $N = \operatorname{Co}3$

Con abelian zócalo de la orden de $v = p^d$ son todos los que figuran en $\operatorname{AΓL}(d,p)$. El subgrupo $G_0$ de permutaciones de fijación de la $0$ vector viene de una lista relativamente corta, y es un complemento para el normal subgrupo $V$ orden $v$. Estos deben estar en la lista de transitivas lineales finitas grupos:

• $G ≤ \operatorname{AΓL}(1,v)$ es solucionable, $G_0$ es cíclico de orden dividiendo $v−1$
• $\operatorname{SL}(n,q) ⊴ G_0$, $q^n = p^d$
• $\operatorname{Sp}(n,q) ⊴ G_0$, $q^n = p^d$
• $G_2(q)' ⊴ G_0$, $q^6 = p^d$, $q$ incluso
• $G_0 \in \{ \operatorname{Alt}(6), \operatorname{Alt}(7) \}$, $v = 2^4$
• $\operatorname{SL}(2,q) ⊴ G_0$, $q \in \{3,5\}$, y ya sea $d=2$, $p \in \{ 5, 7, 11, 19, 23, 29, \text{ or }59 \}$, o $d=4, p=3$.
• cinco más ejemplos con $d=4, p=3$ ($G_0$ un semi-producto directo de los cuaterniones de tipo extra-grupo especial de fin de $32$ uno de los cinco transitiva subgrupos de $\operatorname{Sym}(5)$)
• $\operatorname{SL}(2,13) = G_0$, $d=6$, $p=3$.

Tamizar la lista (no se hace)

Ahora uno tiene que comprobar cuál de estos grupos en realidad tienen un grado $2p$ (o $p$). La segunda mitad de la lista es fácilmente tratado con: $2p$ no es una fuente primaria de energía, a menos que se $4$, e $p$ es exactamente un primo, por lo que la única posibilidad es $\operatorname{AΓL}(1,p) = \operatorname{AGL}(1,p)$, el normalizador de la Sylow $p$-subgrupo.

La primera mitad de la lista es extremadamente difícil de analizar ya que trae preguntas similares a las de los números primos de Fermat. Sin embargo, también podemos usar la que tienen estos grupos para contener el normalizador en $\operatorname{Alt}(2p)$ de Sylow $p$-subgrupo. Hay seis infinito familias (alt, psl, unitario, suzuki, ree, simpléctica) y un par de sporadics.

La alternancia de grupo no es un subgrupo maximal de sí mismo.

En el caso de $2.\operatorname{PΓL}(d,q) = \operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(d,q))$, uno tendría $(q^d−1)/(q−1)=2p$. Este número es aún, por lo $q$ debe ser impar, y $d$ debe ser par. Si $p$ divide $q−1$, $p$ divide $|N|$ $d−1$ veces. Si $p$ divide el orden del zócalo $N$ sólo una vez, a continuación, $p$ debe dividir $|\operatorname{Out}(N)| = (q−1,d)⋅f⋅2$. Si $p$ divide $f$, $p$ divide $q−1$ por Fermat poco teorema, sin embargo, a continuación, $p$ divide $|N|$ $d−1$ veces, por lo $d = 2$$2p = q+1$, lo $q=2p-1$, pero $q$ $p$'th poder. Desde $q^p−2p+1$ $0$ $p=0$ y sus derivados en $p$ es positivo si $q ≥ 9$ (y dado que no existen pequeños contraejemplos), esto es una contradicción. Si $p$ divide $(q−1,d)$,$d≥p$, y por lo $p$ divide $|N|$ $p−1$ tiempos, que a muchos, ya que podemos suponer $p ≥ 3$. Por lo tanto $p$ divide $|N|$ exactamente dos veces, y $[G:N]$ es coprime a $p$. Si $p ≥ d$, luego de un Sylow $p$-subgrupo de $N$ es abelian y semi-simple, tan contenida en un toro. En otras palabras, el orden de $k$ $q$ mod $p$ satisface $d/3 < k ≤ d/2$. Una permutación de la matriz de efectos de la órbita de intercambio, por lo que sólo tenemos que ver si todos los $(p−1)/2$ multiplicación de automorfismos de la normalizador de la Sylow $p$-subgrupo en $\operatorname{Alt}(p)$ están contenidas en $G$. Por lo tanto, tenemos que mirar el normalizador del toro...

El unitaria y de Ree de los casos son imposibles como $q^3+1$ es divisible por $2$, $(q+1)/2$, y $qq-q+1$, por lo que no es el doble de una prima. Suzuki tiene grado impar y sympletic no puede ocurrir, $2$ divide $v$ sólo una vez, por lo $n=2$ está fuera de los límites.

Ahora la única esporádicos posible es $M_{22}$, pero su automorphism grupo es solo divisible por $11$ una vez, por lo que no puede ocurrir.

Bibliografía

• Brauer (1943) SEÑOR0008237
• Ito (1960) SEÑOR0117283
  • y el SEÑOR0124389 para mayor índice de
  • y su 1963 MR0147535 donde se plantea la barra y comienza el ataque en su más general conjetura probando varios transitividad, que Neumann, a continuación, se simplifica y se extiende
  • y su 1967 MR0224697 donde él se encarga de los números primos de Fermat
• Neumann (1972) SEÑOR0313369
  • y su aplicación a Itô la conjetura de MR0352227
• Chillag (1977) SEÑOR0437622
• Kantor (1985) SEÑOR0773556