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Limite $\frac{x^2y}{x^4+y^2}$ se encuentra utilizando coordenadas polares pero se supone que no existe.

Consideremos la siguiente función de 2 variables:

$$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}$$

Me gustaría encontrar el límite de esta función como $(x,y) \rightarrow (0,0)$ .

He utilizado coordenadas polares en lugar de resolver explícitamente en $\mathbb R^2 $ y fue lo siguiente:

$$ x = r \cos \theta, \qquad y = r\sin\theta $$

Por lo tanto,

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2} = \lim_{r \to 0}\frac{r^2\cos^2\theta(r\sin\theta)}{r^4\cos^4\theta + r^2\sin^2\theta}$$

Esto se simplifica a,

$$ \lim_{r \to 0} \frac{r^3 \cos^2\theta\sin\theta}{r^2(r^2\cos^4\theta + \sin^2\theta)}$$

Simplificando $r^3/r^2$ Finalmente lo conseguimos;

$$\lim_{r \to 0} \frac{r (\cos^2\theta\sin\theta)}{r^2\cos^4\theta + \sin^2\theta}$$

Ahora, a partir de lo anterior, encontramos que como $r \to 0$ el límite es $0$ .

Quería verificar esta respuesta, así que la comprobé en Wolfram Alpha. Explícitamente, sin cambiar a coordenadas polares, decía que el límite no existe en $(0,0)$ y con razón. Entonces, ¿cómo es que con coordenadas polares, el límite existe y es $0$ ? ¿Estoy haciendo algo mal en este método?

Además, ¿qué debo hacer en esta situación y cuándo NO debo utilizar las coordenadas polares para encontrar los límites de las funciones multivariables?

12 votos

Es impar - esto entra en conflicto con lo que me enseñaron el semestre pasado, que la conversión a polar es una forma infalible de demostrar que existe un límite.

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Creo que la respuesta de @heropup es más que convincente :)

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@MyGlasses ¿Sabías que el motor de búsqueda SE no puede leer TeX? En consecuencia, texificar el título no ayuda mucho.

84voto

heropup Puntos 29437

El límite no está definido porque para que el límite exista, el valor de la función para cada posible camino hacia $(0,0)$ deben tender al mismo valor finito. Cuando $y = x^2$ no ha demostrado necesariamente que el límite sea de hecho $0$ . Al transformar a coordenadas polares y luego tomar el límite como $r \to 0$ , usted está asumiendo que $\theta$ es una constante fija. Por lo tanto, sólo se contemplan las trayectorias que siguen una línea recta hacia el origen.

enter image description here enter image description here

Mathematica código:

F[x_, y_] := x^2 y/(x^4 + y^2)
op = ParametricPlot3D[{r Cos[t], r Sin[t], F[r Cos[t], r Sin[t]]},
     {r, 0, Sqrt[2.1]}, {t, -Pi, Pi}, PlotPoints -> 40, MaxRecursion -> 8,
     Mesh -> {10, 48}, PlotRange -> {{-1, 1}, {-1, 1}, {-1/2, 1/2}}, 
     SphericalRegion -> True, Axes -> False, Boxed -> False];
an = Show[op, ViewPoint -> {{Cos[2 Pi #], Sin[2 Pi #], 0}, {-Sin[2 Pi #], 
     Cos[2 Pi #], 0}, {0, 0, 1}}.{1.3, -2.4, 2}] & /@ (Range[40]/40);

1 votos

Pero en este caso, ¿el límite no tiende a cero sea cual sea el valor de theta, ya que r no depende de theta?

12 votos

$r$ puede no depender de $\theta$ pero $\theta$ está ciertamente permitido depender de $r$ . Porque si no, entonces los únicos caminos que se pueden considerar como $r \to 0$ serían aquellas trayectorias que se mueven en línea recta hacia $(0,0)$ y como la elección de $y = x^2$ muestra que no basta con esos recorridos en línea recta. Si $\theta$ varía con $r$ el cálculo del límite ya no es necesariamente $0$ .

3 votos

Mi razonamiento inicial fue que cualquier valor de theta no importará ya que tenemos r multiplicado con una expresión que contiene todos los valores de theta, y r tiende a cero. Pensé que cualquier valor que haya en esa expresión no importará ya que será cero a pesar de todo, porque está multiplicado por r.

26voto

user2566092 Puntos 19546

No has tenido en cuenta lo que ocurre si $\theta$ es variable en función de $r$ cuando $r$ va a $0$ . Elija $\theta$ para que $\sin \theta = r$ es decir $\theta$ es aproximadamente $r$ y obtendrá $\cos \theta$ es aproximadamente 1 para los pequeños $r$ y entonces el límite no será cero, por lo que el límite no existe.

Si quieres utilizar coordenadas polares para demostrar que existe un límite, especialmente en el caso de que quieras demostrar que el límite es $0$ como $r \to 0$ Entonces, si se calcula una potencia positiva de $r$ entonces hay que acotar el factor restante mediante una constante o un múltiplo de una potencia negativa de $r$ que es menor que la potencia positiva que has descontado. En tu caso no puedes hacer esto porque cuando $\sin \theta = r$ no se puede producir tal límite para la expresión después de factorizar $r$ . Si tuvieras algo como $r/(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta)$ entonces podrías atar $1/(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta)$ por una constante para todo $\theta$ y así se obtendría que el límite es efectivamente $0$ como $r \to 0$ .

4 votos

¿puede dar un ejemplo de lo que está tratando de decir?

22voto

Leon Katsnelson Puntos 274

Dejemos que $\alpha >0$ y considerar el camino $\gamma_\alpha(t) = (t,\alpha t^2)$ . Entonces tenemos $f \circ \gamma_\alpha (t) = {\alpha t^4 \over t^4+ \alpha^2 t^4 }$ y el límite como $t \to 0$ es ${\alpha \over 1+\alpha^2}$ (de hecho, es constante a lo largo de este camino).

El límite existe en todos estos caminos, pero es diferente. Si el límite existe, su valor debe ser independiente de cómo $(x,y) \to 0$ .

0 votos

@StubbornAtom: He cometido un error, gracias por detectarlo.

-2voto

b.sahu Puntos 176

Depende del camino que sigas para viajar al " Origen " o x=0 e y=0 . Si sigues el camino x^2 =y ; entonces f(x,y) = y^2/(2*y^2) = 1/2 ...y el límite será 1/2 .

-7voto

fernanfio Puntos 77
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Supongo que el problema aparece si $\theta=0$ (o $\pi$ ), en su argumento, el límite es $0$ siempre que $\theta\neq 0$ .

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