Consideremos la siguiente función de 2 variables:
$$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}$$
Me gustaría encontrar el límite de esta función como $(x,y) \rightarrow (0,0)$ .
He utilizado coordenadas polares en lugar de resolver explícitamente en $\mathbb R^2 $ y fue lo siguiente:
$$ x = r \cos \theta, \qquad y = r\sin\theta $$
Por lo tanto,
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2} = \lim_{r \to 0}\frac{r^2\cos^2\theta(r\sin\theta)}{r^4\cos^4\theta + r^2\sin^2\theta}$$
Esto se simplifica a,
$$ \lim_{r \to 0} \frac{r^3 \cos^2\theta\sin\theta}{r^2(r^2\cos^4\theta + \sin^2\theta)}$$
Simplificando $r^3/r^2$ Finalmente lo conseguimos;
$$\lim_{r \to 0} \frac{r (\cos^2\theta\sin\theta)}{r^2\cos^4\theta + \sin^2\theta}$$
Ahora, a partir de lo anterior, encontramos que como $r \to 0$ el límite es $0$ .
Quería verificar esta respuesta, así que la comprobé en Wolfram Alpha. Explícitamente, sin cambiar a coordenadas polares, decía que el límite no existe en $(0,0)$ y con razón. Entonces, ¿cómo es que con coordenadas polares, el límite existe y es $0$ ? ¿Estoy haciendo algo mal en este método?
Además, ¿qué debo hacer en esta situación y cuándo NO debo utilizar las coordenadas polares para encontrar los límites de las funciones multivariables?
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Es impar - esto entra en conflicto con lo que me enseñaron el semestre pasado, que la conversión a polar es una forma infalible de demostrar que existe un límite.
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Creo que la respuesta de @heropup es más que convincente :)
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@MyGlasses ¿Sabías que el motor de búsqueda SE no puede leer TeX? En consecuencia, texificar el título no ayuda mucho.
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@JyrkiLahtonen Creo que estas ediciones que he hecho hasta ahora, nos ayudan a encontrar relacionados y también duplicados en el panel derecho (panel relacionado). Pero si mi trabajo sobre estas ediciones no es útil, voy a dejar de hacerlo. dime por favor.