Consideremos la siguiente función de 2 variables:
f(x,y)=x2yx4+y2
Me gustaría encontrar el límite de esta función como (x,y)→(0,0) .
He utilizado coordenadas polares en lugar de resolver explícitamente en R2 y fue lo siguiente:
x=rcosθ,y=rsinθ
Por lo tanto,
lim
Esto se simplifica a,
\lim_{r \to 0} \frac{r^3 \cos^2\theta\sin\theta}{r^2(r^2\cos^4\theta + \sin^2\theta)}
Simplificando r^3/r^2 Finalmente lo conseguimos;
\lim_{r \to 0} \frac{r (\cos^2\theta\sin\theta)}{r^2\cos^4\theta + \sin^2\theta}
Ahora, a partir de lo anterior, encontramos que como r \to 0 el límite es 0 .
Quería verificar esta respuesta, así que la comprobé en Wolfram Alpha. Explícitamente, sin cambiar a coordenadas polares, decía que el límite no existe en (0,0) y con razón. Entonces, ¿cómo es que con coordenadas polares, el límite existe y es 0 ? ¿Estoy haciendo algo mal en este método?
Además, ¿qué debo hacer en esta situación y cuándo NO debo utilizar las coordenadas polares para encontrar los límites de las funciones multivariables?
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Es impar - esto entra en conflicto con lo que me enseñaron el semestre pasado, que la conversión a polar es una forma infalible de demostrar que existe un límite.
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Creo que la respuesta de @heropup es más que convincente :)
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@MyGlasses ¿Sabías que el motor de búsqueda SE no puede leer TeX? En consecuencia, texificar el título no ayuda mucho.
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@JyrkiLahtonen Creo que estas ediciones que he hecho hasta ahora, nos ayudan a encontrar relacionados y también duplicados en el panel derecho (panel relacionado). Pero si mi trabajo sobre estas ediciones no es útil, voy a dejar de hacerlo. dime por favor.