Limite $\frac{x^2y}{x^4+y^2}$ se encuentra utilizando coordenadas polares pero se supone que no existe.

Question

Consideremos la siguiente función de 2 variables:

$$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}$$

Me gustaría encontrar el límite de esta función como $(x,y) \rightarrow (0,0)$ .

He utilizado coordenadas polares en lugar de resolver explícitamente en $\mathbb R^2 $ y fue lo siguiente:

$$ x = r \cos \theta, \qquad y = r\sin\theta $$

Por lo tanto,

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2} = \lim_{r \to 0}\frac{r^2\cos^2\theta(r\sin\theta)}{r^4\cos^4\theta + r^2\sin^2\theta}$$

Esto se simplifica a,

$$ \lim_{r \to 0} \frac{r^3 \cos^2\theta\sin\theta}{r^2(r^2\cos^4\theta + \sin^2\theta)}$$

Simplificando $r^3/r^2$ Finalmente lo conseguimos;

$$\lim_{r \to 0} \frac{r (\cos^2\theta\sin\theta)}{r^2\cos^4\theta + \sin^2\theta}$$

Ahora, a partir de lo anterior, encontramos que como $r \to 0$ el límite es $0$ .

Quería verificar esta respuesta, así que la comprobé en Wolfram Alpha. Explícitamente, sin cambiar a coordenadas polares, decía que el límite no existe en $(0,0)$ y con razón. Entonces, ¿cómo es que con coordenadas polares, el límite existe y es $0$ ? ¿Estoy haciendo algo mal en este método?

Además, ¿qué debo hacer en esta situación y cuándo NO debo utilizar las coordenadas polares para encontrar los límites de las funciones multivariables?

Answer 1

El límite no está definido porque para que el límite exista, el valor de la función para cada posible camino hacia $(0,0)$ deben tender al mismo valor finito. Cuando $y = x^2$ no ha demostrado necesariamente que el límite sea de hecho $0$ . Al transformar a coordenadas polares y luego tomar el límite como $r \to 0$ , usted está asumiendo que $\theta$ es una constante fija. Por lo tanto, sólo se contemplan las trayectorias que siguen una línea recta hacia el origen.

Mathematica código:

F[x_, y_] := x^2 y/(x^4 + y^2)
op = ParametricPlot3D[{r Cos[t], r Sin[t], F[r Cos[t], r Sin[t]]},
     {r, 0, Sqrt[2.1]}, {t, -Pi, Pi}, PlotPoints -> 40, MaxRecursion -> 8,
     Mesh -> {10, 48}, PlotRange -> {{-1, 1}, {-1, 1}, {-1/2, 1/2}}, 
     SphericalRegion -> True, Axes -> False, Boxed -> False];
an = Show[op, ViewPoint -> {{Cos[2 Pi #], Sin[2 Pi #], 0}, {-Sin[2 Pi #], 
     Cos[2 Pi #], 0}, {0, 0, 1}}.{1.3, -2.4, 2}] & /@ (Range[40]/40);

Answer 2

No has tenido en cuenta lo que ocurre si $\theta$ es variable en función de $r$ cuando $r$ va a $0$ . Elija $\theta$ para que $\sin \theta = r$ es decir $\theta$ es aproximadamente $r$ y obtendrá $\cos \theta$ es aproximadamente 1 para los pequeños $r$ y entonces el límite no será cero, por lo que el límite no existe.

Si quieres utilizar coordenadas polares para demostrar que existe un límite, especialmente en el caso de que quieras demostrar que el límite es $0$ como $r \to 0$ Entonces, si se calcula una potencia positiva de $r$ entonces hay que acotar el factor restante mediante una constante o un múltiplo de una potencia negativa de $r$ que es menor que la potencia positiva que has descontado. En tu caso no puedes hacer esto porque cuando $\sin \theta = r$ no se puede producir tal límite para la expresión después de factorizar $r$ . Si tuvieras algo como $r/(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta)$ entonces podrías atar $1/(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta)$ por una constante para todo $\theta$ y así se obtendría que el límite es efectivamente $0$ como $r \to 0$ .

Answer 3

Dejemos que $\alpha >0$ y considerar el camino $\gamma_\alpha(t) = (t,\alpha t^2)$ . Entonces tenemos $f \circ \gamma_\alpha (t) = {\alpha t^4 \over t^4+ \alpha^2 t^4 }$ y el límite como $t \to 0$ es ${\alpha \over 1+\alpha^2}$ (de hecho, es constante a lo largo de este camino).

El límite existe en todos estos caminos, pero es diferente. Si el límite existe, su valor debe ser independiente de cómo $(x,y) \to 0$ .

Answer 4

Depende del camino que sigas para viajar al " Origen " o x=0 e y=0 . Si sigues el camino x^2 =y ; entonces f(x,y) = y^2/(2*y^2) = 1/2 ...y el límite será 1/2 .

Answer 5

• Lista de artículos

Supongo que el problema aparece si $\theta=0$ (o $\pi$ ), en su argumento, el límite es $0$ siempre que $\theta\neq 0$ .