¿Por qué es la definición de $\lim^1$ a través de una cokernel la primera derivada functor de $\lim$?

Question

Deje $A_*=\ldots\to A_n\to A_{n-1}\to\ldots\to A_0$ ser un sistema lineal de abelian grupos. El límite de este sistema puede ser definido como el núcleo de el mapa $$ \prod A_n\xrightarrow{g-1}\prod A_n $$ donde $g$ proviene de la estructura de mapas de todo el sistema. El límite functor $\lim\colon\mathbf{Ab}^{\mathbb{N^{op}}}\to\mathbf{Ab}$ no es exacta, ya que no enviar a corto exacta de las secuencias en la $\mathbf{Ab}^{\mathbb{N^{op}}}$ (exactitud es evaluados en cada grado) exacto secuencias en $\mathbf{Ab}$ y uno puede por lo tanto con el método habitual de construir su derecho derivado de functors $R^q\lim\colon\mathbf{Ab}^{\mathbb{N^{op}}}\to\mathbf{Ab}$ y nos pusimos $\lim^1=R^1\lim$.

Por otro lado, $\lim^1$ frecuencia se define de otra forma (permítanme indicar que este objeto temporalmente como $\lim^1'$): $$\estilo de texto \lim^1'A_*=coker(\prod A_n\xrightarrow{g-1}\prod A_n). $$

¿Por qué es $\lim^1 A_*=\lim^1'A_*$? Yo preferiría un argumento abstracto con categorías derivadas, si es que existe.

Desde contable de los productos son exactas " en abelian grupos, el producto de más de $\mathbb{N}$ es ya el producto derivado y si toda la estructura de los mapas del sistema sería surjective, no sería exacto triángulo $$ Rlim A_*\a \prod A_n\xrightarrow{g-1}\prod A_n $$ en la derivada de la categoría (de los complejos de la cadena de abelian grupos). A continuación, el desplazado $Rlim$ sería igual a la asignación de cono de $g-1$ (que es también el homotopy cofiber de $g-1$). Pero esta asignación de cono es generalmente no se concentra en el grado cero y, en particular, que no es lo mismo que $coker(\prod A_n\xrightarrow{g-1}\prod A_n)$, lo que define a $\lim^1'A_*$. Por lo tanto, no veo una conexión entre el$\lim^1A_*$$\lim^1'A_*$.

Answer 1

Esto se hace (como era de esperar) en Weibel la Introducción al Álgebra Homológica, la sección 3.5. He aquí el argumento:

• Como hunter dijo, una breve secuencia exacta de las torres de $0 \to A \to B \to C \to 0$, aplicar el lema de la serpiente para el diagrama siguiente para obtener una secuencia exacta $0 \to \varprojlim A \to \varprojlim B \to \varprojlim C \to \varprojlim{}^{1'} A \to \varprojlim{}^{1'} B \to \varprojlim{}^{1'} C \to 0$: $$\begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & \prod A_i & \to & \prod B_i & \to & \prod C_i & \to & 0 \\ && \downarrow \Delta & & \downarrow \Delta & & \downarrow \Delta && \\ 0 & \to & \prod A_i & \to & \prod B_i & \to & \prod C_i & \to & 0 \end{array}$$
• Para completar el argumento que usted necesita para demostrar que $\varprojlim{}^{1'}$ se desvanece en suficiente injectives. Weibel construido suficiente injectives de la forma: $$\dots \to E = E = E \to 0 \to 0 \dots \to 0$$ donde el $E$ son inyectiva. Pero todos los mapas en esta torre se surjective y así su $\varprojlim{}^{1'}$ se desvanece. Esto demuestra que (en Weibel la terminología) $\varprojlim{}^{1'}$ junto con $0$ en las cotas más elevadas de forma universal, $\delta$- functor para $\varprojlim$, es decir. $\varprojlim{}^{1'} = R^1 \varprojlim$ (y las más altas se desvanecen).

Para más detalles, lea Weibel del libro.

Answer 2

No se puede escribir porque estoy en una tablet. Una breve exacta de los sistemas, la serpiente lema nos dice que tenemos (functorially), una secuencia exacta

0 a Un lim lim B lim C lim 1 A a lim 1 B a lim 1 C a 0

Eso es suficiente para garantizar que lim1 y lim1' de acuerdo.