Proyectivas de cierre en la Zariski y Euclídea topologías

Question

En Smith es Una Invitación a la Geometría Algebraica, siguiendo la definición de la proyectivas de cierre de una variedad afín, se observó que "el cierre puede ser computado en la topología de Zariski en $\mathbb{P}^n$ o en la topología Euclidiana sobre $\mathbb{P}^n$; el resultado es el mismo, y ambos se corresponde con nuestra idea intuitiva de un cierre". (Variedades de este libro son de más de $\mathbb{C}$.)

Me preguntaba por qué esto es cierto, ya que la topología de Zariski es más amplia que la topología Euclidiana. Alguien puede esbozar una prueba de este hecho? Smith no ofrece ninguna explicación para esto.

En parte creo que estoy confundido acerca de la noción de "topología Euclidiana" en el espacio proyectivo. Hay al menos dos topologías que podría ser considerado como el "topología Euclidiana", y espero que ellos tengan la misma:

1. El estándar afín cubierta de $\mathbb{P}^n$ da lugar a las cartas, donde el abierto de conjuntos afín $n$espacio $\mathbb{C}^n$. Si $\mathbb{C}^n$ está equipado con la topología Euclidiana, esto hace que $\mathbb{P}^n$ un complejo colector.

2. Hay un surjective mapa de $\pi: \mathbb{C}^{n+1} \setminus \{0\} \to \mathbb{P}^n$ que identifica las líneas dadas por $\pi(z_0,\ldots,z_n) = [z_0:\cdots:z_n]$. Si $\mathbb{C}^{n+1}$ es dada la topología Euclidiana, a continuación, $\mathbb{P}^n$ puede ser dada la topología cociente. Esta debe ser la misma como la de declarar que un conjunto $V$ $\mathbb{P}^n$ es cerrado si su afín cono $\pi^{-1}(V) \cup \{0\}$ es cerrado en $\mathbb{C}^{n+1}$ con la topología Euclidiana. (Una pregunta relacionada: Si $\mathbb{C}^{n+1}$ es dada la topología de Zariski en su lugar, es el cociente de la topología la topología de Zariski en $\mathbb{P}^n$?)

Answer 1

Esto tiene poco que ver con el espacio proyectivo.

Deje $X$ ser una variedad algebraica $\mathbb C$. Puede ser dotado natural con la topología inducida por el complejo de valor absoluto. Esta topología se llama el complejo de la topología.

Lema Deje $Z$ ser una compleja variedad algebraica. Deje $T$ ser un Zariski subconjunto cerrado de $Z$, Zariski denso en ninguna parte en $Z$. A continuación, $T$ es complejo, denso en ninguna parte en $Z$.

Deje $Z^0$ ser un subconjunto de un subconjunto cerrado de $X$ (en el sentido de la topología de Zariski). Queremos mostrar

Reclamo: el Zariski cierre de $Z^0$ coincide con su complejo de cierre.

En su pregunta, $X$ es un espacio proyectivo, y $Z^0$ es un afín subvariedad de $X$.

Prueba: Supongamos $Z$ ser el Zariski cierre de $Z^0$ y deje $Z^c$ ser el complejo de cierre de $Z^0$. Como la topología de Zariski es grueso que el más complejo, tenemos $Z^c\subseteq Z$. Como $Z\setminus Z^0$ es Zariski cerrado y Zariski denso en ninguna parte en $Z$, por el lema anterior, $Z\setminus Z^0$ es complejo, denso en ninguna parte en $Z$, por lo tanto $Z^0$ es complejo madrigueras en $Z$. Esto implica que $Z^c=Z$.

Queda por demostrar el lema. Es bien conocido, pero no tengo una referencia, así que voy a dar una prueba aquí. Reducción $Z$ si es necesario, podemos suponer $Z$ es afín y Zariski cerrado en algunos $\mathbb C^n$. Deje $I, J$ ser la respectiva definining (radical) ideales en $\mathbb C[z_1,\dots, z_n]$$Z$$T$. Por hipótesis, existe un complejo abierto subconjunto $U$ $\mathbb C^n$ tal que $U\cap Z=U\cap T\ne\emptyset$.

Podemos suponer wlog que $p:=(0,..,0)\in U\cap T$. En el anillo local $\mathcal O_{(\mathbb C^n)^{an},p}$ de los gérmenes de holomorphic funciones, por analítica Nullstellensatz, tenemos $I \mathcal O_{(\mathbb C^n)^{an},p}=J\mathcal O_{(\mathbb C^n)^{an},p}$ porque $U\cap Z=U\cap T$. Pasando a la finalización oficial, obtenemos $$I\mathbb C[[z_1,\dots, z_n]]=J\mathbb C[[z_1,\dots, z_n]].$$ Por la fidelidad a la llanura de la finalización oficial $\mathbb C[z_1,\dots, z_n]_{\mathfrak m} \to \mathbb C[[z_1,\dots, z_n]]$ (donde $\mathfrak m$ es el máximo ideal correspondiente a $p$), tenemos $$I\mathbb C[z_1,\dots, z_n]_{\mathfrak m}=J\mathbb C[z_1,\dots, z_n]_{\mathfrak m}.$$ Esto significa que $T$ $Z$ coinciden en un abierto Zariski barrio de $p$. Contradicción con la hipótesis de $T$ nada denso en $Z$.